1. Дана диагональ AC и ∠ABC (рис. 1)
2. Так как соседние углы ромба в сумме дают 180° и диагонали ромба являются биссектрисами углов ромба, построим угол, который будет прилегать к заданной диагонали. Для этого к заданному углу построим смежный с линейки : ∠MBA (рис. 2) Произвольным радиусом сделаем засечки на сторонах полученного ∠MBA : точки N и T.
3. От точек N и T произвольным одинаковым радиусом провести полуокружности, на пересечении поставить точку F ( рис. 3). Луч BF - биссектриса угла ∠MBA. ∠MBF равен углу, который прилегает к заданной диагонали.
4. Провести прямую, отложить с циркуля длину отрезка AC - это диагональ будущего ромба (рис. 4). От концов диагонали радиусом NB провести полуокружности. На диагонали точки пересечения D и E.
5. Из точки D радиусом NF в сторону точки А провести полуокружность до пересечения с построенной полуокружностью : на пересечении точки G и H. Из точки E радиусом NF в сторону точки C провести полуокружность до пересечения с построенной полуокружностью : на пересечении точки K и L ( рис. 5).
6. Провести лучи AG, CK, AH, CL (рис. 6). На пересечении лучей поставить точки B и D. Полученная фигура ABCD - ромб с заданными параметрами.
Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Если точка пересечения биссектрис и точка пересечения медиан совпадают, то медианы треугольника являются и его биссектрисами.
Следовательно, данный треугольник - равносторонний.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
Прямая , параллельная стороне треугольника и равная 2 см, делит его на подобные треугольники с коэффициентом подобия 3:2 (вся медиана - 3 части, от вершины до точки пересечения медиан- 2 части, следовательно, и k=3:2)
Тогда таким же будет и отношение сторон всего треугольника к сторонам отсекаемого, т.е. к длине отрезка, на котором лежит центр окружности.
Обозначим сторону треугольника а.
а:2=3:2
2а=6
а=3 см
Периметр - сумма длин всех трех сторон треугольника.
Р=3•3=9 cм
----------
Если не прямая, на которой лежит центр окружности, равна 2 см, а сторона треугольника, тогда, естественно, периметр равен 6 см. Главное - определить, что треугольник равносторонний.