Добрый день! Радовал школьным учителем вы спросили задачу о нахождении радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Давайте разберемся пошагово:
1. Для начала нарисуем треугольник ABC:
C
/\
/ \
/ \
A/_____\B
2. Известно, что AB = 10 и BC = 20. Обратим внимание на особенность треугольника: его стороны являются хордами(отрезками, соединяющими две точки на окружности) окружности, описанной вокруг треугольника.
3. Далее важно обратить внимание на условие задачи, которое говорит о sin C и sin A. По определению sin C = (BC/2R), где R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. А sin A = (AB/2R). В нашей задаче sin C = (1/5)sin A = (1/5)(AB/2R).
4. Подставляем известные значения:
(1/5)(AB/2R) = (2/5)(AB/2R)
Обратим внимание, что AB/2R сокращается, оставляя нам равенство 1/5 = 2/5.
5. Нам известно, что sin C = 1/5 и sin A = 2/5. Значит, расстояния от точки C и точки A до центра окружности одинаковы. Поделив на sin C и sin A, можно найти отношение сторон и углов треугольника. В нашем случае, отношение равно AB/BC = sin A/ sin C = (2/5)/(1/5) = 2. Значит, сторона AB в два раза больше стороны BC.
6. Зная, что AB = 10 и отношение сторон треугольника равно 2, можно найти BC. BC = AB/2 = 10/2 = 5.
7. Теперь у нас есть все стороны треугольника: AB = 10, BC = 5 и AC = 15 (так как AC = AB + BC). С помощью этих значений мы можем построить треугольник и вписать окружность.
8. Рассмотрим треугольник ABC снова:
C
/ \
/ \
/______\
A B
Отметим центр окружности точкой O, которая вписана в треугольник ABC. Также поместим точки M, N и P на стороны треугольника так, чтобы M была серединой отрезка AB, N - серединой отрезка AC, а P - серединой отрезка BC.
C
/ \
NP/_______\ MN
/ \
/____________\
A O B
Таким образом, MO и NO - это радиусы окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
9. Заметим, что треугольники ANC, BOM и MNC являются прямоугольными треугольниками (где АН и ВМ - это радиусы окружности, а MC и NC - это стороны треугольника).
10. Используя теорему Пифагора для треугольников ANC, BOM и MNC, можем найти значения радиусов окружности MO и NO:
MO^2 = AM^2 + AO^2 = (AB/2)^2 + AC^2 = 5^2 + 15^2 = 250
NO^2 = AN^2 + AO^2 = (AB/2)^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 50
11. Воспользуемся теоремой Пифагора еще раз, чтобы найти длину отрезка MN:
MN^2 = MO^2 + NO^2 = 250 + 50 = 300
12. И, наконец, найдем MN, радиус окружности, описанной около треугольника ABC:
MN = √(300) ≈ 17.32
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, примерно равен 17.32 единицы длины.
1. Для начала нарисуем треугольник ABC:
C
/\
/ \
/ \
A/_____\B
2. Известно, что AB = 10 и BC = 20. Обратим внимание на особенность треугольника: его стороны являются хордами(отрезками, соединяющими две точки на окружности) окружности, описанной вокруг треугольника.
3. Далее важно обратить внимание на условие задачи, которое говорит о sin C и sin A. По определению sin C = (BC/2R), где R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. А sin A = (AB/2R). В нашей задаче sin C = (1/5)sin A = (1/5)(AB/2R).
4. Подставляем известные значения:
(1/5)(AB/2R) = (2/5)(AB/2R)
Обратим внимание, что AB/2R сокращается, оставляя нам равенство 1/5 = 2/5.
5. Нам известно, что sin C = 1/5 и sin A = 2/5. Значит, расстояния от точки C и точки A до центра окружности одинаковы. Поделив на sin C и sin A, можно найти отношение сторон и углов треугольника. В нашем случае, отношение равно AB/BC = sin A/ sin C = (2/5)/(1/5) = 2. Значит, сторона AB в два раза больше стороны BC.
6. Зная, что AB = 10 и отношение сторон треугольника равно 2, можно найти BC. BC = AB/2 = 10/2 = 5.
7. Теперь у нас есть все стороны треугольника: AB = 10, BC = 5 и AC = 15 (так как AC = AB + BC). С помощью этих значений мы можем построить треугольник и вписать окружность.
8. Рассмотрим треугольник ABC снова:
C
/ \
/ \
/______\
A B
Отметим центр окружности точкой O, которая вписана в треугольник ABC. Также поместим точки M, N и P на стороны треугольника так, чтобы M была серединой отрезка AB, N - серединой отрезка AC, а P - серединой отрезка BC.
C
/ \
NP/_______\ MN
/ \
/____________\
A O B
Таким образом, MO и NO - это радиусы окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
9. Заметим, что треугольники ANC, BOM и MNC являются прямоугольными треугольниками (где АН и ВМ - это радиусы окружности, а MC и NC - это стороны треугольника).
10. Используя теорему Пифагора для треугольников ANC, BOM и MNC, можем найти значения радиусов окружности MO и NO:
MO^2 = AM^2 + AO^2 = (AB/2)^2 + AC^2 = 5^2 + 15^2 = 250
NO^2 = AN^2 + AO^2 = (AB/2)^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 50
11. Воспользуемся теоремой Пифагора еще раз, чтобы найти длину отрезка MN:
MN^2 = MO^2 + NO^2 = 250 + 50 = 300
12. И, наконец, найдем MN, радиус окружности, описанной около треугольника ABC:
MN = √(300) ≈ 17.32
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, примерно равен 17.32 единицы длины.