Задача 2.
1) Пусть квадрат имеет стороны АВ, ВС, ДС и АД, пусть АС пересекает ВД в точке О.
2) У квадрата диагонали равны, следовательно АС=ВД=18 м.
3) У квадрата диагонали точкой пересечения делятся пополам, тогда АО=ОС=ОД=ОВ=9 м.
4) У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны, в таком случае рассмотрим треугольник АОВ - прямоугольный. АВ - гипотенуза и одновременно сторона квадрата, треугольник равнобедренный, т.к. катеты равны по 9 м.
АВ²=АО²+ОВ² (теорема Пифагора)
АВ²=81+81
АВ²=162
АВ=9√2 (это сторона квадрата).
Задача 1.
1) Пусть ромб имеет стороны АВ, ВС, ДС и АД, а высота СН.
2) Рассмотрим треугольник ВНС (прямоугольный)
ВС²=СН²+НВ² (теорема Пифагора)
НВ²=400-256
НВ²=144
НВ=12 м.
3) АН=АВ-НВ=20-12=8 м.
4) Рассмотрим треугольник АНС (прямоугольный)
АС²=АН²+НС²
АС²=64+256=320
АС=8√5
4) Рассмотрим треугольник АОД (прямоугольный, т.к. диагонали ромба взаимноперперндикулярны), учитывая, что АС пересекает ВД в точке О.
АО=8√5:2=4√5
АД²=АО²+ОД² (теорема Пифагора)
ОД²=400-80=320
ОД=8√5
5) ВД=2ОД (т.к. диагональ точкой пересечения делится пополам.
ВД=2*8√5=16√5
ВС|║АD, АВ - секущая. ⇒ сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Биссектрисы делят углы пополам.⇒ из суммы углов треугольника угол ВОА=180°- 0,5•(∠АВС+∠ BAD)=90°,
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник ( для доказательства рассмотри накрестлежащие углы при секущих ВN и АМ) ⇒ ВМ=АВ, АN=AB ⇒ ВМ=АN. В ∆ ВМN отрезок ВО=ОN (т.к.в ∆ АВМ АО - медиана),⇒ МО - медиана и высота ( угол ВОМ =90° как смежный углу ВОА) ⇒ треугольник ВМN – равнобедренный и МN =ВМ Противоположные стороны четырехугольника АВMN равны и параллельны ( лежат на параллельных прямых), следовательно, АВMN– параллелограмм по определению. Кроме того, этот четырехугольник - ромб, т.к. все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикуляры и являются биссектрисами его углов. .