Question

Выберите верные утверждения. А) два любых сонаправленных вектора некомпланарны
Б)При сложении трех некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда
В)Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны
Решить задачи:
1)В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АВ = 8 см, АА1=6см.Найдите длину вектора СВ - СА+В1С1 - В1С
2)Дан Тэтраэдр АВСД. Найдите сумму векторов: а)АВ+ВД+ДС; Б)АД+СВ+ДС; В)АВ+ СД+ ВС + ДА

Answer 1

А) Два любых сонаправленных вектора всегда являются компланарными. Для того чтобы понять почему, представим, что у нас есть два вектора A и B, направленные в одну сторону. Мы можем представить каждый из этих векторов как смещение точки от начала координат. Если мы возьмем точку А и сместим ее по вектору A, а затем сместим по вектору B, то мы получим новую точку C, которая лежит в плоскости, образованной этими двумя векторами. То есть, два сонаправленных вектора всегда компланарны.

Б) Правило параллелепипеда позволяет сложить три некомпланарных вектора. Для этого нужно построить параллелепипед, у которого одна из диагоналей будет равна сумме этих векторов. Таким образом, при сложении трех некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда.

В) Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, всегда компланарны. Это происходит потому, что коллинеарные вектора лежат на одной прямой, которая является плоскостью.

1) Для начала найдем вектор СВ - СА, добавив соответствующие координаты данных векторов:
СВ - СА = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) = (0 - 0, 0 - 0, 8 - 0) = (0, 0, 8)
Затем найдем вектор В1С1 - В1С:
В1С1 - В1С = (x₄ - x₃, y₄ - y₃, z₄ - z₃) = (6 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (6, 0, 0)
Теперь сложим эти два вектора:
(0, 0, 8) + (6, 0, 0) = (0 + 6, 0 + 0, 8 + 0) = (6, 0, 8)
Таким образом, длина вектора СВ - СА + В1С1 - В1С равна √(6² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

2) а) Для нахождения суммы векторов АВ+ВД+ДС, сложим их соответствующие координаты:
АВ+ВД+ДС = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) + (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) + (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁)
= (0 - 0, 2 - 0, 0 - 0) + (2 - 0, 0 - 0, 0 - 0) + (0 - 0, 0 - 0, 2 - 0)
= (0 + 2 + 0, 2 + 0 + 0, 0 + 0 + 2)
= (2, 2, 2)

б) Для нахождения суммы векторов АД+СВ+ДС, также сложим их соответствующие координаты:
АД+СВ+ДС = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) + (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) + (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁)
= (2 - 0, 0 - 0, 0 - 0) + (0 - 0, 2 - 0, 0 - 0) + (0 - 0, 0 - 0, 2 - 0)
= (2, 0, 0) + (0, 2, 0) + (0, 0, 2)
= (2 + 0 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 0 + 2)
= (2, 2, 2)

в) Для нахождения суммы векторов АВ+СД+ВС+ДА, сложим их соответствующие координаты:
АВ+СД+ВС+ДА = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) + (x₄ - x₃, y₄ - y₃, z₄ - z₃) + (x₄ - x₂, y₄ - y₂, z₄ - z₂) + (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
= (0 - 0, 2 - 0, 0 - 0) + (0 - 2, 0 - 0, 0 - 0) + (0 - 0, 0 - 2, 0 - 0) + (2 - 0, 0 - 0, 0 - 0)
= (0 + 0 + 0 + 2, 2 + 0 + 0 + 0, 0 + 0 + 0 + 0)
= (2, 2, 0)