Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа) . Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B. Постройте точку C посередине между O и B. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D. Проведите окружность с центром в A через точку D. Обозначьте её пересечения с оригинальной (зелёной окружностью) как точки E и F. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Пусть M - середина АС. Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС. SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC. ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае - ∠SMH)
SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара. ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания. Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒ ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.
ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3 НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: НМ = а√3/6 а√3/6 = R√3 a = 6R
ΔSHM: HM / SM = cos 60° SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2) = 2R√3
Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус. ∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM), ∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30° ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO cos 30° = r / R r = R√3/2
Длина окружности касания: C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3
