Прямоугольный параллелепипед.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
Теорема 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (рис. 415). Из прямоугольного треугольника АСС по теореме Пифагора получаем:
Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС2=АВ2+ ВС2. Отсюда
Ребра АВ, ВС и СС не параллельны, а следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда .
Теорема доказана.
1.Объём получившегося тела вращения - сумма объёмов цилиндра с и конуса с общим основанием с радиусом, равны высоте трапеции.
Высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне.
ВН=3 ⇒ r=3
По т. Пифагора высота конуса АН= √(BA²-BH²)=4
Высота цилиндра DH =8-4=4
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту
Vц=π3²•4=36π см³
Объём конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту.
Vk=π3²•4/3=12π см³
V=36π+12π=48π см³ (см. приложение)
------------------
2. Пусть данный треугольник АВС, угол С=90°, угол САВ=α, катет АС=а.
Тело вращения - фигура из двух конусов с общим основанием, радиусом r которого является высота ∆ АВС, проведенная из С к гипотенузе АВ. Высота СН=r=а•sinα
Высота h1 большего конуса - больший из отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу.
Высота h2 меньшего конуса - меньший из отрезков, на которые высота СН делит гипотенузу.
Объём тела вращения прямоугольного треугольника -сумма объёмов получившихся конусов.
V=V1+V2
r= a•sin α
V1=π•r²AH/3
V2= π•r²•BH/3
V=π•r²AH/3+ π•r²•BH/3
V=π•r²(AH+BH)/3;
AH+BH=AB
V=π•r²•AB/3
AB=AC/cosα=a/cosα
V=π•(a•sin α)²•(a/cosα):3=a³•sin²α/3cosα
.....................................................