1) ABCD-прямоугольник, S- произвольная точка пространства. Докажите, что векторы SB-SC=DA 2) Перечислите все упорядоченные пары вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которые задают ненулевые векторы, коллинеарные вектору AC
3) Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор, равный сумме векторов AB+B1C1+DD1+CD
4) Дан треугольник ABC. Точка D лежит на стороне BC, причём BD:DC=1:2. Выразите вектор BD, через векторы b и c, если AB=b, AC=c
5) Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор BD, по векторам BA, BC и BB1
Пусть A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC), D(xD, yD, zD) - координаты вершин прямоугольника ABCD, а S(xS, yS, zS) - координаты точки S.
Вектор SB(xB - xS, yB - yS, zB - zS), а вектор SC(xC - xS, yC - yS, zC - zS).
Вычтем из вектора SB вектор SC: SB - SC = (xB - xS, yB - yS, zB - zS) - (xC - xS, yC - yS, zC - zS)
После раскрытия скобок получим: (xB - xS - xC + xS, yB - yS - yC + yS, zB - zS - zC + zS)
Упрощаем выражение: (xB - xC, yB - yC, zB - zC)
Пользуясь свойством суммы векторов (DA = AB + BC + CD), заметим, что вектор SB - SC и вектор DA совпадают.
Таким образом, доказано, что векторы SB - SC = DA.
2) Чтобы найти все упорядоченные пары вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которые задают ненулевые векторы, коллинеарные вектору AC, нам понадобится учесть определение коллинеарности векторов.
Вектор AC (xAC, yAC, zAC) задает направление и длину вектора для всех параллелепипедов ABCDA1B1C1D1. Следовательно, чтобы найти упорядоченные пары вершин, нужно рассмотреть все комбинации вершин параллелепипеда.
Возможные упорядоченные пары вершин, задающие ненулевые векторы, коллинеарные вектору AC:
- (A, B),
- (A1, B1),
- (A, D),
- (A1, D1),
- (B, C),
- (B1, C1),
- (C, D),
- (C1, D1).
3) Для нахождения вектора, равного сумме векторов AB+B1C1+DD1+CD, будем использовать определение векторного сложения.
Вектор AB (xAB, yAB, zAB), вектор B1C1 (xB1C1, yB1C1, zB1C1), вектор DD1 (xDD1, yDD1, zDD1) и вектор CD (xCD, yCD, zCD) задают направление и длину векторов для всех параллелепипедов ABCDA1B1C1D1. Следовательно, чтобы найти вектор, равный сумме этих векторов, нужно сложить их компоненты по соответствующим осям.
Суммируем компоненты векторов AB, B1C1, DD1, CD: (xAB + xB1C1 + xDD1 + xCD, yAB + yB1C1 + yDD1 + yCD, zAB + zB1C1 + zDD1 + zCD)
Таким образом, вектор, равный сумме векторов AB+B1C1+DD1+CD, имеет компоненты (xAB + xB1C1 + xDD1 + xCD, yAB + yB1C1 + yDD1 + yCD, zAB + zB1C1 + zDD1 + zCD).
4) Чтобы выразить вектор BD через векторы b и c, если AB = b, AC = c, воспользуемся условием, что BD:DC = 1:2.
Распишем вектор BD через векторы AB и AC: BD = BA + AD
Зная, что AB = b и AC = c, получим: BD = b + AD
Так как BD:DC = 1:2, то можем представить вектор DC через векторы b и c: DC = 2 * c
Теперь можем выразить вектор AD через векторы b и c: AD = DC - AC = 2 * c - c = c
Подставляем выраженное значение вектора AD в выражение для вектора BD: BD = b + c
Таким образом, вектор BD выражается через векторы b и c как BD = b + c.
5) Чтобы разложить вектор BD по векторам BA, BC и BB1, воспользуемся определением векторного разложения.
Разложим вектор BD на три составляющие: BD = BA + AD
Зная, что BA = -AB, получаем: BD = -AB + AD
Разложим вектор AD на две составляющие: AD = AC + CD
Так как AC = BC - BA и CD = DD1 - DC, получаем: AD = BC - BA + DD1 - DC
Подставляем эти выражения в разложение для вектора BD: BD = -AB + BC - BA + DD1 - DC
Упрощаем выражение путем сокращений: BD = BC + DD1 - DC
Таким образом, вектор BD разлагается по векторам BA, BC и BB1 как BD = BC + DD1 - DC.