Samt = 1 1/3 ед².
Объяснение:
По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей ЕМ:
(СЕ/ЕВ)·(ВК/КА)·(АМ/(МС) =1. => (4/1)·(5/2)·(АМ/(АМ+9√2)) = 1. =>
10АM/(AM+9√2) = 1. => АМ = √2. CA/АM = 9/1. => АС/СМ = 9/10.
По теореме Менелая для треугольника МВА и секущей ТС:
(МТ/ТВ)·(ВК/КА)·(АС/(СМ) =1. =>
(МТ/ТВ)·(5/2)·(9/10)) = 1. => МТ/ТВ = 4/9. => МТ/МВ = 4/13.
Треугольники МВА и АМТ - треугольники с одной высотой, то есть отношение их площадей равно отношению сторон, на которую проведена высота. =>
Samt/Smba = 4/13.
Smba = (1/2)·АВ·MA·Sin(ВАМ). ∠ВАМ = 45° (как смежный с ∠ВAС = 135°).
Smba = (1/2)·7·√2·√2/2 = 3,5 ед². =>
Samt = (4/13)·3,5 = 1 1/13 ед².
Решение
Пусть M – точка пересечения медиан прямоугольного треугольника ABC с катетами AC и BC, P и Q – проекции точки M на AC и BC соответственно,
MP = 3, MQ = 4, K – середина BC.
Поскольку медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, то AC = 3PC = 3MQ = 12, BC = 9. Значит, AB = 15, SABC = ½ AC·BC = 54.
Поскольку высота треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, равна AC·BC/AB = 36/5, то искомое расстояние равно 12/5.
ответ
12/5.