Question

ответить на 5 вопросов! 1. чему равна высота правильной треугольной пирамиды со стороной основания а и боковым ребром b? 2. чему равна сторона основания правильной шестиугольной пирамиды, если её высота h и боковое ребро b? 3. чему равна высота правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания а и боковым ребром b? 4. чему равна апофема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h? 5. чему равна апофема правильной треугольной пирамиды со стороной а и боковым ребром b?

Answer 1

1) см. рис. 1 :

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$h = \frac{a \sqrt{3} }{2} \\$

где а - сторона равностороннего треугольника

Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Центром равностороннего треугольника является точка пересечения биссектрис, медиан и высот.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины →

BD = ( a√3 / 2 ) × 2/3 = a√3 / 3

Рассмотрим ∆ SBD (угол SDB = 90°):
По теореме Пифагора:
SB² = SD² + BD²
h² = b² - ( a√3 / 3 )²

$h = \sqrt{ {b}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{3} } \\$

2) см. рис. 2:

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник
Бо'льшие диагонали правильного шестиугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам, и при этом эти диагонали делят шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников →
HD = DE = a - сторона основания

Рассмотрим ∆ SDH (угол SHD = 90°):
По теореме Пифагора:
SD² = SH² + HD²
a² = b² - h²

$a = \sqrt{ {b}^{2} - {h}^{2} } \\$

3) см. рис. 2 :

Рассмотрим ∆ SDH (угол SHD = 90°):
По теореме Пифагора:
SD² = SH² + HD²
h² = b² - a²

$h = \sqrt{ {b}^{2} - {a}^{2} } \\$

4) см. рис. 3 :

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат

Опустим из точки Е – точки пересечения диагоналей квадрата – перпендикуляр EF к CD →
По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что SF перпендикулярен CD, то есть SF = s – апофема пирамиды

Рассмотрим ∆ CDE (угол CED = 90°):
∆ CDE – прямоугольный и равнобедренный, так как диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам →
EF – высота, медиана, биссектриса

Поэтому, EF = a / 2

Рассмотрим ∆ SEF (угол SEF = 90°):
По теореме Пифагора:
SF² = SE² + EF²
s² = h² + ( a / 2 )²

$s = \sqrt{ {h}^{2} + \frac{ {a}^{2} }{4} } \\$

5) см. рис. 4 :

РН = s — апофема пирамиды

Так как все боковые ребра правильной треугольной пирамиды равны →
РН – высота, медиана, биссектриса боковой грани. Поэтому ВН = а / 2

Рассмотрим ∆ BPH (угол PHB = 90°):
По теореме Пифагора:
РВ² = PH² + BH²
s² = b² - ( a/2 )²

$s = \sqrt{ {h}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{4} } \\$