Центр шара лежит в точке, равноудалённой от сторон треугольника, образуя вместе с вершинами треугольника треугольную пирамиду с равными апофемами. Апофемы равны, значит основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание пирамиды окружности.
Площадь основания можно вычислить по формуле Герона:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р=(a+b+c)/2.
Подставив числовые значения a=13, b=14 и с=15 получим S=84 см.
Радиус вписанной окружности: r=S/p=2S/(a+b+c).
r=2·84/(13+14+15)=4 см.
Высота пирамиды, проведённая к данному треугольнику - это расстояние от центра шара до треугольника.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и найденным радиусом, высота по теореме Пифагора равна:
h=√(l²-R²), где l- апофема пирамиды (равна радиусу шара).
h=√(4²-3²)=7 см - это ответ.
тогда
ВМ = МС, В1М1 = М1С1 (АМ и А1М1 - медианы),
а раз ВС = В1С1, то все педидущие четыре отрезка равны:
ВМ = МС = В1М1 = М1С1
далее уголВ = углуВ1(соответствующие углы равных треугольников)
АВ = А1В1 (соответствующие стороны равных треугольников)
на основании выше изложенного делаем вывод, что тр.АВМ = тр.А1В1М1(по двум сторонам и углу между ними)
а уже на основании равенства треугольников АВМ и А1В1М1 делаем вывод о равенстве наших медиан АМ и А1М1, что и требовалось доказать