Question

в тетраэдре abcd точки m, k, p – середины рёбер ab, bd и bc. докажите, что плоскость mkp параллельна плоскости acd, и найдите площадь δ mkp, если площадь δ acd равна 96 см². ответы

Answer 1

Давайте рассмотрим данный тетраэдр ABCD и обозначим его вершины так: A - точка с координатами (x₁, y₁, z₁), B - точка с координатами (x₂, y₂, z₂), C - точка с координатами (x₃, y₃, z₃) и D - точка с координатами (x₄, y₄, z₄).

Поскольку точки M, K и P - середины ребер AB, BD и BC, мы можем найти координаты каждой из них:

Для точки M:
xₘ = (x₁ + x₂)/2, yₘ = (y₁ + y₂)/2, zₘ = (z₁ + z₂)/2

Для точки K:
xₖ = (x₂ + x₄)/2, yₖ = (y₂ + y₄)/2, zₖ = (z₂ + z₄)/2

Для точки P:
xᵖ = (x₃ + x₂)/2, yᵖ = (y₃ + y₂)/2, zᵖ = (z₃ + z₂)/2

Теперь посмотрим на плоскости MKP и ACD.

Плоскость MKP проходит через точки M, K и P. Для того чтобы доказать, что плоскость MKP параллельна плоскости ACD, нам нужно доказать, что векторы нормалей этих плоскостей коллинеарны.

Вектор нормали плоскости MKP можно найти как векторное произведение векторов MK и MP:

Вектор MK:
MK = [xₖ - xₘ, yₖ - yₘ, zₖ - zₘ]

Вектор MP:
MP = [xᵖ - xₘ, yᵖ - yₘ, zᵖ - zₘ]

Теперь найдем векторное произведение векторов MK и MP:

Nₘ = MK x MP

Nₘ = [ (yₖ - yₘ)(zᵖ - zₘ) - (zₖ - zₘ)(yᵖ - yₘ), (zₖ - zₘ)(xᵖ - xₘ) - (xₖ - xₘ)(zᵖ - zₘ), (xₖ - xₘ)(yᵖ - yₘ) - (yₖ - yₘ)(xᵖ - xₘ) ]

Аналогично найдем вектор нормали плоскости ACD. Для этого нам понадобятся векторы AD и AC.

Вектор AD:
AD = [x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁]

Вектор AC:
AC = [x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁]

Теперь найдем векторное произведение векторов AD и AC:

Nₐ = AD x AC

Nₐ = [ (y₄ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₄ - z₁)(y₃ - y₁), (z₄ - z₁)(x₃ - x₁) - (x₄ - x₁)(z₃ - z₁), (x₄ - x₁)(y₃ - y₁) - (y₄ - y₁)(x₃ - x₁) ]

Теперь нам нужно проверить, коллинеарны ли эти векторы, то есть надо доказать, что каждая компонента вектора Nₘ пропорциональна соответствующей компоненте вектора Nₐ.

Для этого мы можем взять два отношения компонент этих векторов, например, первые компоненты:

(Nₘ₁ / Nₐ₁) = ( (yₖ - yₘ)(zᵖ - zₘ) - (zₖ - zₘ)(yᵖ - yₘ) ) / ( (y₄ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₄ - z₁)(y₃ - y₁) )

Если это отношение равно числу k, то векторы Nₘ и Nₐ коллинеарны, и плоскость MKP параллельна плоскости ACD.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника MKP, мы можем использовать формулу для площади треугольника по координатам его вершин:

S = 1/2 * | (xₘ - xᵖ)(yₖ - yₘ) - (xₖ - xₘ)(yᵖ - yₘ) |

Где |x| - обозначает модуль числа x.

Таким образом, мы можем доказать параллельность плоскостей MKP и ACD, и вычислить площадь треугольника MKP по заданным координатам.