Так как искомая окружность должна касаться хорды АВ данной нам окружности радиуса R=15 и самой этой окружности, ясно, что искомая окружность расположена внутри кругового сегмента, стягиваемого хордой АВ. Поскольку хорда АВ делит круг на два круговых сегмента, существует и два варианта решения. На рисунке представлены оба варианта расположения искомой окружности. Точка касания "С" этой окружности с хордой АВ определена. Проведем радиус r=O1C искомой окружности в точку касания. Этот радиус О1С перпендикулярен хорде АВ. Проведем радиус R=ОР данной нам окружности к хорде АВ . Он также перпендикулярен хорде АВ и, кроме того, делит ее пополам в точке М. Тогда АМ=0,5АВ=12, АС=АВ/3=8. СМ=12-8=4. Опустим из центра искомой окружности перпендикуляр на диаметр КР, включающий в себя радиус R. О1М1=СМ=4. Из прямоугольного треугольника ОАМ по Пифагору найдем отрезок ОМ. ОМ=√(АО²-АМ²)=√(15²-12²)=9. В прямоугольнике М1О1СМ сторона ММ1=r, где r - радиус искомой окружности. Тогда для первого варианта (окружность расположена в большем секторе): ОМ1=ММ1-ОМ = r-9. ОО1=R-r. (Так как оба радиуса лежат на одной прямой - радиуса в точку касания Т обеих окружностей). И из прямоугольного треугольника М1О1О по Пифагору имеем: ОО1²=О1М1²+М1О² или (15-r)²=4²+(r-9)² или 225-30r+r²=16+r²-18r+81. Отсюда r=32/3. Для второго варианта (окружность расположена в меньшем секторе): ОМ1=ММ1+ОМ = r+9. И ОО1²=(15-r)²=4²+(r+9)² или 225-30r+r²=16+r²+18r+81. Отсюда r=8/3.
1)
Обозначим R, как 3x, P, как 7x. Q, как 2x
Тогда сумма углов треугольника R+P+Q=180
3x+7x+2x=180
12x=180
x=15°
Значит, значения углов:
R=3*15=45°
P=7*15=105°
Q=2*15=30°
2) Угол K обозначим, как x.
Тогда M=2x;
2x-N=20;
N=2x-20;
Сумма углов треугольника
x+2x+2x-20=180
5x-20=180
5x=200
x=40
Тогда углы:
K=40°
M=80°
N=60°
3) Т.к. треугольник равнобедренный, угол P=R.
Обозначим угол S через x.
Тогда P=R=1.5x
Сумма углов
x+1.5x+1.5x=180
4x=180
x=45
S=45°
P=R=1.5*45=67.5°
4)
Угол MQL=180-MQP=180-140=40° (т.к. углы смежные)
Угол Q=0.4L. Значит, L=Q/0.4=40/0.4=100°
Q+L+M=180
40+100+M=180
M=180-140=40°
5) A+B+C=180°
A+C=180-B=180-40=140°
Обозначим A, как 2x, тогда C=5x
2x+5x=140
7x=140
x=20
Значит,
A=40°
C=100°
6) Обозначим QPM через x. Тогда QPK=3.5x
QPM+QPK=180°, как смежные углы
x+3.5x=180
4.5x=180
x=40°
Значит, QPM=40°
Обозначим M, как 3t, Q - как 4t
3t+4t+40=180
7t=140
t=20
Значит, M=60°
Q=80°
7) Обозначим угол S, как x
STM=2x. STR=180-STM=180-2x (как смежные углы)
R+S+STR=180
70+x+180-2x=180
x=70
Тогда S=70°
STR=180-2*70=180-140=40°
8) Т.к. треугольник ADC равнобедренный, углы DAC и C равны. Обозначим их через x. Тогда угол B=2x
По условию, BAD=DAC=x. Значит, BAC=2x
Тогда 2x+2x+x=180
5x=180
x=36°
C=36°
B=2*36=72°
BAC=72°
Объяснение: