Треугольник АВС. Угол А : углу В : углу С = 1:3:5
х+3х+5х=180
9х=180
х=20
Угол А = 20 град
Угол В = 20*3=60 град
Угол С = 20*5=100 град
Р, М, К - точки касания окружности сторон треугольника соответственно на сторонах АВ, ВС и АС
О - центр окружности
Рассмотрим четырёхугольник АКОР. УголК + угол Р =90+90=180 град (радиусы, проведённые в точки касания), значит
угол КОР + уголА = 360-180=180 град
угол КОР = 180-20=160 град.
Аналогично рассуждаем при нахождении углов РОМ и МОК
угол РОМ = 180-60=120 град
угол МОК = 180-100=80 град
Решение: EС=1\2*AС (так как Е – середина отрезка AС, а векторы EС и AС одинаково направлены)
Вектор медианы СL треугольника DBC равен вектор СB +вектор BL= вектор CD+ вектор DL
2*вектор CL=вектор CB+вектор CD+вектор DL+вектор BL= вектор CD+вектор CB (так как L – середина отрезка BD, а векторы BL и DL – противоположно направлены)
Вектор CL=1\2*(вектор CB+вектор CD) .
Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому
Вектор CM=2\3*вектор CL
Вектор CB=вектор CA+вектор AB=-вектор AC+вектор AB
Вектор CD=вектор CA+вектор AD=-вектор AC+вектор AD
Вектор EM=вектор EС+вектор СM=1\2*вектор AC+2\3 *вектор CL=1\2*вектор AC+2\3*1\2*(вектор CB+ вектор CD)= 1\2*вектор AC+1\3*(вектор CB+ вектор CD)=1\2*вектор AC+1\3*(-вектор AC+вектор AB-вектор AC+вектор AD)=
=-1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD
ответ: -1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD