1. На прямой а возьмите точку В в некотором отдалении от проекции точки А ; 2. С циркуля постройте дугу с центром в точке А радиусом АВ таким образом, чтобы дуга пересекла прямую в двух точках. Зафиксируйте вторую точку С; 3. Постройте две окружности равного радиуса с центрами в точках пересечения прямой и дуги таким образом, чтобы эти окружности пересеклись в двух точках. Пусть это будут точки D и F. 4. Соедините точки пересечения окружностей, получим отрезок DF. Если вы всё сделали правильно, эти точки будут на одной прямой с точкой А. Полученная прямая и есть искомый перпендикуляр к прямой а. Доказательство: Точки В и С находятся на равном расстоянии от точки А по построению, Точки D и F находятся на равном удалении от отрезка В и С так же по построению. Точка А лежит на прямой, проходящей через точки D и F.
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия ABCD Доказать, что: 1. BC || MN || AD. 2. MN = 1/2(AD + BC). Доказательство : 1. Рассмотрим треугольники BNC и DNK, в них: а) угол CNB = углу DNK (свойство вертикальных углов); б) угол BCN = углу NDK (свойство внутренних накрест лежащих углов); в) CN = ND (по следствию из условия теоремы). Значит треугольник BNC = треугольнику DNK (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольник BNC =треугольнику DNK следует, что BN = NK, а значит MN – средняя линия треугольника ABK. MN || AD. Так как ABCD – трапеция, то BC||AD, но MN || AD, значит BC || MN || AD. MN = 1/2 AK, но AK = AD + DK, причём DK = BC (треугольник BNC =треугольнику DNK), значит MN = 1/2 (AD + BC). Что и требовалось доказать.
