Назовём данный треугольник АВС.
ВВ1- высота к АС.
АА1=СС1 - высоты к равным боковым сторонам.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и медианой. ⇒
АВ1=СВ1=30:2=15 см
∆ АВВ1=∆ СВВ1 ( по трем сторонам).
Из ∆ АВВ1 по т.Пифагора
ВВ1=√(AB²-AB1²)=√(17²-15²)=8 см
Высоты к боковым сторонам найдем из площади ∆ АВС
Заметим, что ∆ АВС - тупоугольный ( АС² > АВ²+ВС²), поэтому высоты, проведенные к боковым сторонам тупоугольного треугольника, лежат вне его.
S(ABC)=BB1•AC:2=8•15=120 см²
AA1=2S(ABC):BC
AA1=CC1=
см
Дан равнобедренный треугольник АВС, где АВ=АС=13.
В условии не указано, положение т.D: на ВС или на её продолжении, поэтому задача имеет два решения.
1) D расположена между В и С
и делит основание ВС равнобедренного ∆ ВАС на отрезки BD=18 и CD=6
ВС=18+6=24.
АН - высота равнобедренного треугольника, значит, и медиана. ВН=СН=24:2=12.
∆ АВН – прямоугольный, в котором отношение катет: гипотенуза=12:13. Это отношение сторон треугольника из Пифагоровых троек, где катеты и гипотенуза – целые числа.
Второй катет АН=5. ( Можно вычислить по т.Пифагора).
АН - общая высота для ∆ АВС и АСD, проведенная из А к основанию.
S=a•h:2
S=6•5:2=15 (ед. площади)
-------
2) D расположена на продолжении ВС.
Тогда ВС=ВD-DC=18-6=12
Высота АН для ∆ ВАС и ∆ ADC - общая. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению длин их оснований.
CD:AC=6:12=1/2 =>
Ѕ(ADC)=S(ABC):2
По ф.Герона S(∆)=√(p•(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр треугольника, a, b и с - его стороны
Ѕ(ВАС)=√(19•6•6•7)=6√133
S(ADC)=3√133 ≈ 34,6 (ед. площади)