Дано: Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12 см Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС. KL, MN, PQ - касательные. P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = 48 см
Найти: АВ
Решение: Проведем радиусы окружности в точки касания (OX, OY, OZ и другие). Рассмотрим треугольник KBL. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Значит, KX=KY, LY=LZ. Таким образом, периметр треугольника KBL можно переписать в виде: Р(KBL)=BK+BL+KY+LY=BK+BL+KX+LZ Аналогично, можно переписать выражения для периметров треугольников MCN и PAQ (очередной отрезок заменяется на равный, который в отличие от предыдущего является частью периметра треугольника АВС). Получившаяся сумма периметров всех трех треугольников будет равна периметру треугольника АВС. P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = P(АВС) = 48 P(АВС) = AB+ BC + AC Так как треугольник равнобедренный, то: P(АВС) = 2AB+ AC Подставляем известные величины: 48 = 2AB+ 12 2AB = 36 АВ = 18 (см) ответ: 18 см
Сторона квадрата вписанного в круг равна : Sqrt(r^2 + r^2) = Sqrt(2r^2) = r*Sqrt(2) , Значит ребро вписанного куба равно : r*Sqrt(2) , и соответственно и высота цилиндра будет равна : r*Sqrt(2) . Объем цилиндра равен : п* r^2 *r * Sqrt(2) = п *r^3 *Sqrt(2) .По условию задачи имеем , что объем цилиндра равен : 54*п см^3 , то есть : п* r^3 * Sqrt(2) = 54*п
r^3 * Sqrt(2) = 54
r^3 = 54 / Sqrt(2)
Объем вписанного куба в цилиндр равен : (r*Sqrt(2))^3 = 2r^3 * Sqrt(2)
Подставляем полученное значение радиуса цилиндра , Получаем :
Объем вписанного в цилиндр куба равен : 2 * 54/Sqrt(2) * Sqrt = 2 * 54 = 108 см^3