Чертим пирамиду, диагонали основания (АС) и (ВС), высотупирамиды (SO). О-точка пересечения (АС) и (ВС) и центр квадрата АВСD. треугольник ASC равен треугольнику АВС по трем сторонам. Значит треугольник ASC прямоугольный равнобедренный. АС=sqrt(2), АО=ОС=OS=sqrt(2)/2.
Все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. Апофемы пирамиды равны высртами этих треугольников и равны sqrt(3)/2. Проведём сечение через вершину пирамиды S и середины рёбер AD (точка М) и ВС (точка N). Угол между АВ и плоскостью SAD равен углу между AB и SM, значит равекн углу между SM и NM или углу SMO.
Из треугольника SOM получаем : cos(SMO)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)/3
Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре. Так, линейные углы CDE и C1D1E1 равны, потому что их стороны соответственно параллельны и одинаково направлены.
Теоремы. 1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.
2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.
Обратные теоремы. 1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.
Эти теоремы легко доказываются от противного
1) Сначала построим диагональное сечение.
Оно будет проходить через диагональ, которая лежит против угла в 60 гр.
Это меньшее сечение так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона и обратно. Нам нужно меньшее: оно будет меньшим тк против угла в 120 градусов лежит большее ( 180-60=120)
2)Докажем, что сечение -прямоугольник. так как призма прямая то ребра перпендикулярны основаниям призмы ( по определению прямой призмы)
3) Найдем диагональ (вд) через которое проходит сечение по теореме косинусов: вд2=9+64-2*8*3cоs60гр вд2=73-27 (соs 60-1/2) вд 2=49 вд=7( теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косимнус угла между ними)
4)Sсечения(прямоугольника)=равна произведению его смежных сторон (s=ab) нам известна площадь и одна сторона (диагональ) следовательно найдем другую его сторону ( которая является ребром призмы) 70=х *7 х=10см - ребро равно 10
5) S боковой поверхности = s боковых ее граней
Тк призма прямая - то ее боковые грани - прямоугольники ( из определения прямой призмы)
S=аb S=3*10=30 - одной грани, следовательно противоположной тоже 30 ( тк противоположные грани равны -свойство) и S=8*10=80 - одной грани, другой тоже 80 ( по свойству)
6) S боковой поверхности = 30 +30 +80+80 = 60+160= 220 см2