Дано: D∉(ABC); AC=BD; AL=LB (L∈AB); BK=KC (K∈BC); CM=MD (M∈CD); DN=NA (N∈DA).
Доказать: MNLK - ромб.
AC║MN и AC=2MN т.к. MN - средняя линия ΔACD.
AC║LK и AC=2LK т.к. LK - средняя линия ΔACB.
MN║AC║LK ⇒ MN║LK; 2MN=AC=2LK ⇒ MN=LK
MN║LK ⇒ MN, LK ⊂ (MNL), в этой плоскости рассмотрим четырёхугольник MNKL: у него две противоположные стороны параллельны и равны (MN, LK),поэтому это точно параллелограмм у ромба помимо этого ещё все стороны равны, значит чтобы доказать, что MNLK - ромб осталось только доказать, что MK=NM т.к. если это выполняется, то NL=MK - как противоположные стороны параллелограмма, а значит MN=NL=LK=KM.
BD=2MK т.к. MK - средняя линия ΔBDC.
BD=AC - по условию.
2MK=BD=AC=2MN ⇒ MK=MN. Доказали, значит MNLK это параллелограмм у которого все стороны равны, то есть это ромб.
Для начала найдем неизвестные угол и стороны ∆ АКЕ. Сумма углов треугольника 180° => угол КАЕ=180°-(54°+60°=66°
По т.синусов АЕ=АК•sin54°/sin60°. KE=AK•sin66°/sin60°
sin60°=0.8660; sin54°= 0.8090; sin66°=0.9135
AE=20•0,8090/0,8660=18,683≈18,7 см; KE=20•0,9135/0,8660=21,097≈ 21,1 см
Стороны и углы треугольника ВСD имеют те же значения, что и соответствующие углы и стороны ∆ АКЕ, но в условии не указано, какие именно элементы двух треугольников равны. Если в ∆ ВСD сторона ВС=АК, и ∠D=∠Е, то ∠В=∠А=66°,∠С=∠К=54°, ВС=20 см, ВD=AE≈18,7= см, CD=KE≈21,1 см
S = 1,125 ед².
Объяснение:
В единичном кубе сторона куба = 1.
Диагонали граней равны √2.
Сечение проходит через вершины А и С по диагонали АС и по прямой, параллельной АС (две параллельные плоскости ABCD и A1B1C1D1 пересекаются по параллельным прямым), проходящей через точку F - середину ребра С1D1.
Следовательно, сечение - равнобедренная трапеция AEFC с основаниями АС=√2 и EF=√2/2 (EF - средняя линия треугольника А1C1D1).
Для определения площади трапеции найдем ее высоту.
Проведем ЕH перпендикулярно АС. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. АН = (АС - EF)/2 = (√2 - √2/2)/2 = √2/4 ед.
Из прямоугольного треугольника AА1Е по Пифагору:
АЕ = √(1²+(1/2)²) = √5/2 ед.
Из прямоугольного треугольника AЕН по Пифагору:
ЕН = √(АЕ² - АН²) = √((√5/2)²- (√2/4)²) = 3√2/4 ед.
Saefc = (1/2)·(AC+EF)·EH = (1/2)·(√2+√2/2)· (3√2/4) =>
Saefc = 9/8 = 1 1/8 = 1,125 ед².