Question

Точки D, E и F делят окружность на 3 дуги (DE, EF и DF) так,
что они относятся как 2: 5:8.
Найдите углы треугольника DEF​

Answer 1

Для решения данной задачи, мы должны использовать знание о том, что угол, образованный двумя векторами, равен половине разности углов дуг, образованных этими векторами на окружности.

Дано, что дуги DE, EF и DF разделяют окружность на три части в соотношении 2:5:8. Это значит, что угол DEF охватывает дугу DE, угол EFD охватывает дугу EF, а угол FDE охватывает дугу DF.

Обозначим угол DEF как α, угол EFD как β и угол FDE как γ.

Используя данное соотношение, мы можем записать следующее:

Длина дуги DE / Длина дуги EF = 2 / 5 (1)
Длина дуги DE / Длина дуги DF = 2 / 8 (2)

Чтобы найти значения длин дуг, мы можем вспомнить, что полная окружность состоит из 360 градусов. Тогда:

Длина дуги DE = 360 * (2 / (2 + 5 + 8)) = 360 * (2 / 15) = 48 градусов (3)
Длина дуги EF = 360 * (5 / (2 + 5 + 8)) = 360 * (5 / 15) = 120 градусов (4)
Длина дуги DF = 360 * (8 / (2 + 5 + 8)) = 360 * (8 / 15) = 192 градуса (5)

Итак, мы нашли длины дуг DE, EF и DF.

Теперь, согласно нашим обозначениям, угол DEF равен половине разности между дугами DE и EF. Поскольку мы знаем длины этих дуг, мы можем вычислить угол DEF:

Угол DEF = (48 - 120) / 2 = -72 / 2 = -36 градусов (6)

Аналогичным образом, мы можем найти углы EFD и FDE:

Угол EFD = (120 - 192) / 2 = -72 / 2 = -36 градусов (7)
Угол FDE = (192 - 48) / 2 = 144 / 2 = 72 градуса (8)

Итак, углы треугольника DEF равны -36°, -36° и 72°.

Обратите внимание, что значения углов являются отрицательными. Это происходит из-за выбранного направления обхода окружности. Если бы мы выбрали противоположное направление обхода, знаки углов были бы положительными, но их значения остались бы теми же самыми.