Правильная шестиугольная пирамида , высота которой равна 35 см , а сторона основания 5 см, пересечена плоскостью , параллельной основанию. Найти расстояние до этой плоскости от вершины пирамиды, если площадь сечения равна 6√3 квадратных сантиметров. –––––––––– Т.к. плоскость сечения параллельна основанию пирамиды, она образует правильный шестиугольник, подобный основанию. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Найдем площадь основания, а затем отношение фигур. Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников. Площадь каждого из них найдем по формуле S=(а²√3):4 ⇒S=(25√3):4 Площадь основания пирамиды 6•(25√3):4 Площадь основания относится к площади сечения k²={6•(25√3):4}:6√3=25/4 k=√(25/4)=5/2 Следовательно, высота пирамиды относится к расстоянию от ее вершины до плоскости сечения как 5:2 SO:SK=5/2 35:SK=5/2 5SK=70 SK=14 (см) Высота пирамиды состоит из 5 частей, расстояние от вершины до плоскости сечения 2 части высоты. 35:5=7 782=14- это искомое расстояние.
Смотри рисунок. Это решение- "тупо в лоб". по свойству биссектрисы a/12=b/27 a=4b/9 по теор. косинусов a²=12²+24²-2*12*24cosβ b²=27²+24²-2*27*24cos(180-β) преобразуем, вместо а подставляем что нашли выше и получаем b=45 a=20
но это решение мне не нравится , потому что много вычислений с большими числами.
Методом допостроения и несложных вычислений, а также через подобные треугольники приходим к такому же ответу. Но там нужно думать, что мне и нравится больше. Вот его я и написал во втором файле. Решение намного красивее.
––––––––––
Т.к. плоскость сечения параллельна основанию пирамиды, она образует правильный шестиугольник, подобный основанию.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Найдем площадь основания, а затем отношение фигур.
Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников.
Площадь каждого из них найдем по формуле
S=(а²√3):4 ⇒S=(25√3):4
Площадь основания пирамиды 6•(25√3):4
Площадь основания относится к площади сечения
k²={6•(25√3):4}:6√3=25/4
k=√(25/4)=5/2
Следовательно, высота пирамиды относится к расстоянию от ее вершины до плоскости сечения как 5:2
SO:SK=5/2
35:SK=5/2
5SK=70
SK=14 (см)
Высота пирамиды состоит из 5 частей, расстояние от вершины до плоскости сечения 2 части высоты.
35:5=7
782=14- это искомое расстояние.