Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. h=(BC+AD):2 ⇒ h(ABCD)=(12+20):2=16 см. S(ABCD)=h•(12+20):2=16•16=256 см².
Подробнее: В равнобедренной трапеции диагонали равны. Точкой пересечения они делятся пополам и образуют с основаниями равнобедренные прямоугольные треугольники. Высота каждого из них - медиана и равна половине гипотенузы (соответствующего основания трапеции). ОЕ=ВС/2, ОК=AD/2 Высота трапеции h=ЕК=ЕО+ОК. EK=ВС/2+АD:2, т.е.h= (ВС+AD):2 ⇒S=16•16=256 см²
Для треугольника ABC точки касания с O1 делят стороны на три отрезка AN, CN и еще один (точнее, два равных) из вершины B. Я обозначу его например буквой x.
Тогда очевидно
AN + CN = AC;
AN + x = AB;
CN + x = BC;
Если вычесть из второго третье, получится AN - CN = AB - BC; если теперь сложить это с первым, то
AN = (AC + AB - BC)/2;
Точно так же для треугольника ACD получается
AN1 = (AC + AD - CD)/2; и нигде не предполагается, что AN = AN1; это надо доказать.
Весь четырехугольник ABCD является ОПИСАННЫМ, то есть AD + BC = AB + CD;
или AD - CD = AB - BC; или AC + AD - CD = AC + AB - BC; то есть AN = AN1, и точки N и N1 совпадают, это просто одна точка N.
Последствия этого очень велики. :) Окружности O1 и O2 касаются, AC является общей касательной, проведенной в точке касания N окружностей O1 и O2, и линия центров O1O2 перпендикулярна AC.
Важно! - пока нигде не использовано, что ABCD - трапеция! Этот результат справедлив для любого выпуклого описанного четырехугольника.
Поэтому (см. чертеж) ∠KO1O2 = ∠CAD (стороны углов перпендикулярны), и треугольники KO1O2 и ACP подобны. CP - высота трапеции. Она равна
CP = 2R = 40;
сумма радиусов окружностей равна O1O2 = 25; отсюда легко найти KO1 = 40 - 25 = 15; получился "египетский" треугольник :) то есть KO2 = 20;
Ну, и из подобия KO1O2 и ACP AC = 50 (поскольку СP = 2*KO2 :) )