Чтобы составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси абцисс параболой y=9+2x-x^2, мы должны использовать связь между уравнениями окружности и параболы.
Аналитическое уравнение окружности имеет следующий вид:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
Для того чтобы найти координаты центра окружности, мы должны найти середину отрезка, который определяется параболой на оси абцисс.
Для начала, найдем вершины параболы. В общем виде уравнение параболы имеет вид y = ax^2 + bx + c. Мы можем представить данную параболу в виде, учитывая, что коэффициент при x^2 равен -1:
y = -x^2 + 2x + 9.
Для того чтобы найти вершины параболы, мы можем использовать формулу x = -b/(2a). В данной параболе a = -1, b = 2, а c = 9. Подставим значения и найдем x:
x = -2/(2*(-1)) = 1.
Подставляем найденное значение x в уравнение параболы и находим y:
y = -1^2 + 2*1 + 9 = -1 + 2 + 9 = 10.
Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, 10).
Так как нам нужно найти середину отрезка, то мы должны найти середину между вершиной параболы и точкой пересечения параболы с осью абсцисс. Точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты (x, 0), где x - это решение уравнения y = -x^2 + 2x + 9 = 0.
Точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты (1 + √10, 0) и (1 - √10, 0).
Середину отрезка можно найти, используя координаты вершины и точек пересечения с осью абцисс:
x = (1 + √10 + 1 - √10)/2 = 1/2.
y = (10 + 0)/2 = 5.
Середина отрезка имеет координаты (1/2, 5).
Таким образом, центр окружности имеет координаты (1/2, 5).
Диаметром окружности является отрезок, проходящий через центр окружности и точки пересечения параболы с осью абцисс. Получаем две точки:
(1 + √10, 0) и (1 - √10, 0).
Длина диаметра равна расстоянию между этими точками:
d = (1 + √10) - (1 - √10) = √10 + √10 = 2√10.
Радиус окружности равен половине длины диаметра:
r = (1/2)(2√10) = √10.
Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение окружности:
(x - 1/2)^2 + (y - 5)^2 = (√10)^2.
(x - 1/2)^2 + (y - 5)^2 = 10.
Ответ: Уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси абцисс параболой y=9+2x-x^2, составленное в аналитической форме, имеет следующий вид: (x - 1/2)^2 + (y - 5)^2 = 10.
Аналитическое уравнение окружности имеет следующий вид:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
Для того чтобы найти координаты центра окружности, мы должны найти середину отрезка, который определяется параболой на оси абцисс.
Для начала, найдем вершины параболы. В общем виде уравнение параболы имеет вид y = ax^2 + bx + c. Мы можем представить данную параболу в виде, учитывая, что коэффициент при x^2 равен -1:
y = -x^2 + 2x + 9.
Для того чтобы найти вершины параболы, мы можем использовать формулу x = -b/(2a). В данной параболе a = -1, b = 2, а c = 9. Подставим значения и найдем x:
x = -2/(2*(-1)) = 1.
Подставляем найденное значение x в уравнение параболы и находим y:
y = -1^2 + 2*1 + 9 = -1 + 2 + 9 = 10.
Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, 10).
Так как нам нужно найти середину отрезка, то мы должны найти середину между вершиной параболы и точкой пересечения параболы с осью абсцисс. Точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты (x, 0), где x - это решение уравнения y = -x^2 + 2x + 9 = 0.
Решим уравнение -x^2 + 2x + 9 = 0. Приравниваем уравнение к нулю:
-x^2 + 2x + 9 = 0.
Переносим все элементы в левую часть уравнения:
x^2 - 2x - 9 = 0.
Решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение -бер = b^2 - 4ac.
a = 1, b = -2, c = -9.
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-9) = 4 + 36 = 40.
Так как D > 0, то у уравнения есть 2 действительных корня.
x_1 = (-b + √D)/(2a) = (-(-2) + √40)/(2*1) = (2 + √40)/2 = 1 + √10.
x_2 = (-b - √D)/(2a) = (-(-2) - √40)/(2*1) = (2 - √40)/2 = 1 - √10.
Точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты (1 + √10, 0) и (1 - √10, 0).
Середину отрезка можно найти, используя координаты вершины и точек пересечения с осью абцисс:
x = (1 + √10 + 1 - √10)/2 = 1/2.
y = (10 + 0)/2 = 5.
Середина отрезка имеет координаты (1/2, 5).
Таким образом, центр окружности имеет координаты (1/2, 5).
Диаметром окружности является отрезок, проходящий через центр окружности и точки пересечения параболы с осью абцисс. Получаем две точки:
(1 + √10, 0) и (1 - √10, 0).
Длина диаметра равна расстоянию между этими точками:
d = (1 + √10) - (1 - √10) = √10 + √10 = 2√10.
Радиус окружности равен половине длины диаметра:
r = (1/2)(2√10) = √10.
Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение окружности:
(x - 1/2)^2 + (y - 5)^2 = (√10)^2.
(x - 1/2)^2 + (y - 5)^2 = 10.
Ответ: Уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси абцисс параболой y=9+2x-x^2, составленное в аналитической форме, имеет следующий вид: (x - 1/2)^2 + (y - 5)^2 = 10.