Пусть даны треугольники АВС и А1В1С1, у которых стороны АС и А1С1 равны. Высоты, проведенные из концов этих сторон к боковым сторонам треугольников, также равны. То есть АЕ = А1Е1 и СD = C1D1. Прямоугольные треугольники АЕС и А1Е1С1, ADC и A1D1C1 равны по катету и гипотенузе (четвертый признак равенства прямоугольных треугольников) так как АС=А1С1 (гипотенуза), а АЕ=А1Е1 и CD=C1D1 (катеты) - дано.Из этого равенства следует равенство углов DAC и D1A1C1, а также углов АСЕ И А1С1Е1. Тогда треугольники АВС и А1В1С1 равны по второму признаку равенства треугольников, так как у них равны стороны (АС=А1С1) и углы, прилежащие к этим сторонам (<ВАС = <В1А1С1 и <ВСА=<В1А1С1 - доказано выше).
Что и требовалось доказать.
Проведѐм анализ этой задачи.
Предположим, что задача решена — нарисуем
окружность с центром O и правильный треугольник
ABC, вписанный в неѐ.
Если провести радиусы в вершины этого треугольника,
то можно увидеть на рисунке три равных между собой
треугольника: OAB, OBC, OCA.
Треугольники эти равны по трѐм сторонам (две
стороны в каждом таком треугольнике – это радиусы
данной окружности, а третья сторона каждого из
них — это сторона правильного треугольника ABC).
Но тогда равны углы при вершине O в каждом из них.
А так как полный угол равен 3600
, то величина каждого из углов при вершине O в этих
треугольниках равна 1200
. Это наблюдение приводит к мысли о том, как решить
предложенную задачу.
1
1. Провести окружность.
2. Провести из центра окружности отрезок к точке
на окружности, то есть радиус окружности.
3. Повернуть его относительно центра окружности
на 120 градусов по часовой стрелке.
4. Повернуть его относительно центра окружности
на 120 градусов против часовой стрелки.
5. Соединить отрезками полученные на
окружности точки – концы трѐх радиусов.
Треугольник, сторонами которого являются построенные три отрезка, будет
правильным.
Доказательство
Пусть O — центр окружности, OA — первоначально построенный радиус, B и
C — полученные при таком построении точки. Отрезки OA, OB, OC равны как
радиусы одной окружности. Треугольники OAB, OBC, OCA равны по первому
признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что отрезки AB, BC, CA равны
между собой, а потому треугольник ABC — правильный.
2
1. Провести окружность. Обозначить ее центр O.
2. Провести прямую через точку O, найти точки
пересечения прямой и окружности, обозначить
их A и B.
3. Повернуть прямую AB относительно точки B на
30°, найти точку пересечения полученной
прямой и окружности, обозначить ее C.
4. Повернуть прямую AB относительно точки B на
30° в другую сторону от диаметра AB, найти
точку пересечения полученной прямой и
окружности, обозначить ее D.
5. Построить отрезок CD.
6. Соединить отрезками полученные на окружности точки.
Доказательство
Проведѐм радиус OC. OC = OB как радиусы
окружности, следовательно треугольник OBC -
равнобедренный, поэтому угол OCB равен 30°.
Проведѐм радиус OD. OD = OB как радиусы
окружности, следовательно треугольник OBD -
равнобедренный, поэтому угол ODB равен 30°.
Получаем, что треугольники OBC и OBD равны (по стороне и двум углам), откуда
следует, что BС = BD . В равнобедренном треугольнике CBD угол CBD равен 60°.
Согласно одному из признаков равностороннего треугольника, треугольник CBD
является равносторонним.
Рассказ учителя
2 также может предшествовать анализ. Он
может быть проведѐн следующим образом. При
анализе, предшествующем первому построению, был
использован радиус исходной окружности. Можно
исходить из диаметра окружности.
Пусть равносторонний треугольник ABC вписан в
окружность с центром O. Проведѐм диаметр BD этой
окружности.