Объяснение:
ΔLBC: ∠LCB = 90°, О - середина гипотенузы LВ, ⇒ СО - медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит
ВО = OL = ОС.
Пусть половине угла В - х.
∠ОСВ = ∠ОВС = х, как углы при основании равнобедренного треугольника ОВС.
Тогда ∠АСК = 90° - х.
ΔАСК равнобедренный, так как СК = АС по условию, значит
∠САК = ∠СКА = (180° - ∠АСК) / 2 =
= (180° - (90° - x)) / 2 = (180° - 90° + x) / 2 = (90° + x) / 2
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
∠САК + ∠АВС = 90°
Получаем уравнение:
(90° + x) / 2 + 2x = 90° | ·2
90° + x + 4x = 180°
5x = 90°
x = 18°
∠ABC = 2 · 18° = 36°
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.