Пирамида правильная, поэтому боковые ребра равны и треугольник ASC равнобедренный (и прямоугольный). Гипотенуза AС является диагональю основания - квадрата ABCD. Её длину несложно найти: AC = a*sqrt(2). Длину бокового ребра AS можно найти, например, так: AS = AC * sin(45) = a.
Найдем высоту пирамиды, одновременно являющуюся высотой треугольника ASC, опущенной на основание AC. Написав выражения для треугольника ASC двумя получаем h = AS * SC / AC = a^2 / (a sqrt(2)) = a sqrt(2)/2
V = 1/3 Sосн h = 1/3 a^2 a sqrt(2)/2 = a^3 sqrt(2) / 6
Раз диагональ , сторона 10 по теореме Пифагора (в основании квадрат). Диагональ боковой стороны , значит площадь сечения
Длина отрезка, лежащего на боковой стороне под 45 градусов к основанию равна все тем же , а площадь тогда будет
2
Расстояние между меньшими из них = высота, проведенная из вершины на меньшую сторону. Она вне параллелограмма. Смотрим на прямоугольные треугольники, находим меньшую диагональ, которая равна Одна из диагоналей параллелепипеда тогда равна 5. Вторую искать чуть более геморно, потом допишу.
, сторона 10 по теореме Пифагора (в основании квадрат).
, значит площадь сечения 
1) по формуле Герона
Полупериметр р=(10+10+12):2=16 см
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(16*6*6*4)=√2304=48 см²
48=1/2 * 10 * h₁
h₁=9,6 см
48=1/2 * 12 * h₂
h₂=8 см.
2) по формуле Герона
Полупериметр р=(17+17+16):2=25 дм
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(25*8*8*9)=√14400=120 дм²
120=1/2 * 17 * h₁
h₁=14 2/17 дм
120=1/2 * 16 * h₂
h₂=15 дм.
3) по формуле Герона
Полупериметр р=(4+13+15):2=16 дм
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(16*12*3*1)=√576=24 дм²
24=1/2 * 4 * h₁
h₁=12 дм
48=1/2 * 13 * h₂
h₂=7 5/13 дм.
48=1/2 * 15 * h₃
h₃ = 6 6/7 дм.