Полное условие задачи: Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 38°. Найдите острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.
Пусть в треугольнике АВС ∠С = 90°, СМ - биссектриса. Рассмотрим ΔАСМ: ∠САМ = 38° по условию, ∠АСМ = 90° / 2 = 45° так как СМ биссектриса. ∠ВМС = ∠САМ + ∠АСМ = 38° + 45° = 83° так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Углом между прямыми считается меньший из образовавшихся углов, значит угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла 83°.
AD = 8 ед.
Объяснение:
По теореме синусов в треугольнике АВС имеем:
АВ/sinx = BC/Sin3x.
По формуле тройного аргумента Sin3x = 3Sinx - 4Sin³x =>
11/sinx = 19/(3sinx-4sin³x) => 14sinx - 44sin³x = 0.
2sinx(7-22sin²x) = 0 => Sinx = 0 (не удовлетворяет)
Sinx = ± √(7/22). По формуле двойного аргумента:
Sin2x = 2SinxСosx. (1)
В треугольнике АВС угол В = 180 - 4х (по сумме внутренних углов).
Sin (180 - a) = Sina => SinB = Sin4x.
Sin4x = 2Sin2xСos2x. (2) По формуле двойного аргумента.
В треугольнике ABD угол D = 180 - 2х (смежные углы).
Sin (180 - 2х) = Sin2х.
Тогда по теореме синусов в треугольнике ABD:
AB/SinD = AD/SinB => AD = 11·Sin4x/Sin2x. Или
AD = 11·2Sin2xСos2x/2SinxСosx =>
AD = 11·2SinxСosx·2Сos2x/2SinxСosx = 11·2Сos2x = 22·Сos2x .
Cos2x = 1 - Sin²2x (формула двойного аргумента).
Cos2x = 1 - 2·7/22 = 8/22.
AD = 22·(8/22) = 8 ед.