Объяснение:
Рассмотрим для начала понятие "равные треугольники".
Равные треугольники - это треугольники, которые мы можем совместить наложением.
Однако, сравнивать треугольники по определению очень трудно.
Для этого собственно и ввели признаки равенства треугольников.
Ну а теперь вспомним доказательство первого признака равенства треугольников(чертежи треугольников прикреплены снизу):
нам даны два треугольника: ABC и A1B1C1
По условию у этих треугольников равны:
стороны AB = A1B1
стороны AC = A1C1
углы A = A1
Если мы совместим треугольники наложением, то эти треугольники совместятся в вершинах AB и A1B1, AC и A1C1, и на углах A и A1.
Получается, что если у треугольников равны две стороны и углы между ними, то они совместятся в этих вершинах при наложении, а следовательно, будут равны.
Мораль сей басни такова: если треугольники равны, то не обязательно у них должны быть все три стороны равны, чтобы они совместились при наложении.
Ну а теперь вспомним второй признак равенства треугольников:
если у треугольников одна сторона и два прилежащих к ней угла равны, то и треугольники равны.
(Чертежи внизу).
Следовательно, если эти треугольники совместить наложением, то они будут равны, так как углы A и A1, C и C1 и стороны AC и A1C1 совместятся.
Еще раз повторю:
Чтобы треугольники совместились при наложении, не обязательно, чтобы равны были все три стороны.
Я смог ответить на твой вопрос? Понятно ли я объяснил?
1. Определение: "Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения".
Опустим на сторону ВС перпендикуляры АН и А1Н. Точка Н (основания перпендикуляров) общая, так как треугольник АВС правильный, а треугольник А1ВС - равнобедренный с основанием ВС. Угол между плоскостями АВС и А1ВС это угол А1НА, где АН⊥ВС и А1Н⊥ВС. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета АА1 к прилежащему АН. АА1 = А1С:2 = 4:2 = 2 (как катет, лежащий против угла 30°). АС=√(А1С²-АА1²). АС=√(16-4)=2√3. АН - это высота основания (правильного треугольника) АВС. АН = (√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника. АН = (√3/2)*2√3=3.
Tg(A1HA) = 2/3.
2. Площадь треугольника А1ВС равна S = (1/2)*BC*A1H. ВС=2√3 (сторона треугольника АВС найдена в п.1). А1Н=√(АН²+АА1²). А1Н=√(3²+2²)=√13.
Тогда S=(1/2)*2√3*√13 = √39 ед².
3. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС лежит против угла 30° (дано) и равен ВС:2 = 2:2=1. Катет АС=√3. АА1В1В - квадрат, так как призма прямая, а <B1AB=45° (дано). Значит ВВ1=АВ=2.
В треугольнике АА1С: катет АА1=ВВ1=2, АС=√3. Тогда по Пифагору А1С=√(4+3)=√7. Треугольник А1СВ прямоугольный, так как А1С перпендикулярна ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Площадь треугольника А1СВ равна S=(1/2)*A1C*BC = √7/2 ед².
4. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно, треугольник АВD равносторонний и BD=6см. АО=3√3см (высота правильного треугольника). АС=2*АО = 6√3см. Треугольник BB1D прямоугольный равнобедренный, так как призма прямая, а <DBD1 = 45° (дано). DD1=BD=6см. АА1=DD1 (боковые ребра призмы). Тогда из прямоугольного треугольника АА1С найдем А1С по Пифагору: А1С=√(АС²+АА1²) или
А1С=√(108+36) = 12 см.