Для того чтобы найти площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец его диаметра под углом 45 градусов, нам необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построим рисунок задачи. На рисунке изобразим шар и плоскость, проведенную через конец его диаметра под углом 45 градусов.
2. Обозначим диаметр шара, равный 6. Пусть точка A - это конец диаметра шара.
3. Проведем прямую AB, параллельную плоскости, и соединим ее с концом диаметра A. Пусть точка B находится на поверхности шара.
4. По определению, диаметр шара является диагональю квадрата, вписанного в окружность с радиусом R (половиной диаметра шара). Поэтому длина стороны квадрата равна R = 6 / 2 = 3.
5. Так как плоскость проведена под углом 45 градусов к диаметру шара, то она пересекает квадрат под углом 45 градусов. Поэтому отрезок BC будет равен длине стороны квадрата, то есть BC = 3.
6. Поскольку отрезок BC находится на поверхности шара, он имеет длину равную образующей этой поверхности. Так как BC является образующей сечения, то мы ищем его длину.
7. В правильном треугольнике ABC (правильным называется треугольник, у которого все стороны равны), отрезок BC является гипотенузой. Мы знаем длину гипотенузы (3), и нам нужно найти длину одной из катетов треугольника, чтобы найти образующую BC.
8. Воспользуемся формулой Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты. Зная длину гипотенузы и одного катета, найдем второй катет.
9. Подставим значения в формулу Пифагора: 3^2 = a^2 + a^2. Решим уравнение: 9 = 2a^2. Разделим обе части уравнения на 2: a^2 = 4. Возьмем квадратный корень от обеих частей: a = 2.
10. Таким образом, длина одного катета треугольника ABC равна 2, а значит, длина образующей BC сечения шара также равна 2.
11. Найдем площадь сечения шара плоскостью. Площадь сечения шара можно найти как площадь прямоугольного треугольника ABC. Формула для площади прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b - катеты треугольника.
12. Подставим значения в формулу: S = (2 * 3) / 2 = 6 / 2 = 3.
13. Таким образом, площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец его диаметра под углом 45 градусов, равна 3.
Вот рисунок, чтобы было понятнее:
```
A
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/____|B
AB = 3
BC = 2
```
В итоге, площадь сечения шара, проведенного плоскостью под углом 45 градусов к его диаметру, равна 3.
1. Построим рисунок задачи. На рисунке изобразим шар и плоскость, проведенную через конец его диаметра под углом 45 градусов.
2. Обозначим диаметр шара, равный 6. Пусть точка A - это конец диаметра шара.
3. Проведем прямую AB, параллельную плоскости, и соединим ее с концом диаметра A. Пусть точка B находится на поверхности шара.
4. По определению, диаметр шара является диагональю квадрата, вписанного в окружность с радиусом R (половиной диаметра шара). Поэтому длина стороны квадрата равна R = 6 / 2 = 3.
5. Так как плоскость проведена под углом 45 градусов к диаметру шара, то она пересекает квадрат под углом 45 градусов. Поэтому отрезок BC будет равен длине стороны квадрата, то есть BC = 3.
6. Поскольку отрезок BC находится на поверхности шара, он имеет длину равную образующей этой поверхности. Так как BC является образующей сечения, то мы ищем его длину.
7. В правильном треугольнике ABC (правильным называется треугольник, у которого все стороны равны), отрезок BC является гипотенузой. Мы знаем длину гипотенузы (3), и нам нужно найти длину одной из катетов треугольника, чтобы найти образующую BC.
8. Воспользуемся формулой Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты. Зная длину гипотенузы и одного катета, найдем второй катет.
9. Подставим значения в формулу Пифагора: 3^2 = a^2 + a^2. Решим уравнение: 9 = 2a^2. Разделим обе части уравнения на 2: a^2 = 4. Возьмем квадратный корень от обеих частей: a = 2.
10. Таким образом, длина одного катета треугольника ABC равна 2, а значит, длина образующей BC сечения шара также равна 2.
11. Найдем площадь сечения шара плоскостью. Площадь сечения шара можно найти как площадь прямоугольного треугольника ABC. Формула для площади прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b - катеты треугольника.
12. Подставим значения в формулу: S = (2 * 3) / 2 = 6 / 2 = 3.
13. Таким образом, площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец его диаметра под углом 45 градусов, равна 3.
Вот рисунок, чтобы было понятнее:
```
A
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/____|B
AB = 3
BC = 2
```
В итоге, площадь сечения шара, проведенного плоскостью под углом 45 градусов к его диаметру, равна 3.