В равнобедренный треугольник АВС , АВ=ВС=15 , АС=24, вписана окружность (О; r). Найдите r.
Объяснение:
1)Пусть ВН ⊥АС. Центр вписанной окружности О лежит в точке пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса совпадает с высотой ⇒поэтому О лежит на высоте ВН.
АН=42 :2=12( т.к. ВН и медиана ) . Будем искать r из ΔКВО.
2) ΔАВН-прямоугольный, по т. Пифагора ВН=√(15²-12²)=9. Тогда отрезок ВО можно выразить так ВО=9-r.
По свойству отрезков касательных АН=АК=12⇒КВ=15-12=3.
3) ΔКВО-прямоугольный , по свойству радиуса , проведенного в точку касания . По т. Пифагора ВО²=ОК²+КВ²
(9-r)²=r²+3² ,81-18r+r²=r²+9 ,18r=72 , r=4 .
27,71 cм²
Объяснение:
1) Рассмотрим в плоскости осевого сечения прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, высотой и образующей.
Радиус основания и высота конуса - это катеты данного прямоугольного треугольника, а образующая - его гипотенуза.
2) В данном прямоугольном треугольнике известны 2 угла - прямой (90°) - между высотой конуса и радиусом основания и угол 60° - между образующей и радиусом основания.
Следовательно, острый угол, против которого лежит радиус основания равен:
180° (сумма внутренних углов треугольника) - 90° - 60° = 30°.
3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, радиус основания R равен:
R = 8 : 2 = 4 см.
4) Высоту рассчитаем по теореме Пифагора: катет равен корню квадратному из разности между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета:
H = √(8² - 4²) = √ (64-16) = √ 48 = √ 16*3 = 4√3.
5) Осевое сечения конуса является треугольником, площадь которого равна половине произведения основания на высоту. Основание треугольника - это диаметр основания конуса, а высота треугольника - это высота конуса.
Диаметр основания конуса D равен:
D = 2 * R = 2 * 4 = 8 см.
6) Находим площадь осевого сечения S:
S = (D * H) : 2 = (8 * 4√3) : 2 = 16√3 cм².
Избавимся от иррациональности и рассчитаем значение площади с округлением до сотых (0,01).
16√3 ≈ 16 * 1,732 ≈ 27,71 cм²
ответ: 16√3 cм², или 27,71 cм².