Question

Докажите, что ACD=BCD, если известно,
что АС=ВС, а CD – медиана.​

Answer 1

Для доказательства равенства углов ACD и BCD можно воспользоваться свойствами треугольника и треугольных соотношений.

1. Известно, что AC = BC, а также CD – медиана. Медиана проводится из вершины треугольника к середине противоположной стороны, поэтому в данном случае она делит сторону AB пополам.

2. Пусть точка O - середина стороны AB, то есть AO = OB.

3. Из свойства медианы следует, что точка C лежит на прямой, соединяющей середину стороны AB (точка O) с вершиной C, и делит эту прямую пополам. То есть CO = OA = OB.

4. Рассмотрим треугольник ACO. У него две стороны равны (AC = CO) и угол между ними равен 90 градусов (так как CO является медианой). Таким образом, треугольник ACO является прямоугольным.

5. По свойству прямоугольного треугольника, у него гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу) равна по длине гипотенузе другого прямоугольного треугольника с равными катетами.

6. Рассмотрим треугольники ACD и BCD. У них одна сторона равна (CD – медиана) и две гипотенузы равны (AC = BC из условия).

7. Таким образом, треугольники ACD и BCD являются прямоугольными и имеют равные гипотенузы, а значит, равны по всем сторонам.

8. Наконец, по свойству равенства прямоугольных треугольников, если у них равны по всем сторонам, то они равны и по всем углам.

Таким образом, доказано, что углы ACD и BCD равны.