На мой взгляд самый быстрый построить угол 30 градусов с линейки и циркуля состоит в следующем:
проводим горизонтальную линию, ставим на нее в произвольной точке циркуль и проводим окружность. В точке, где окружность пересекла линию (например справа) опять ставим циркуль и проводим еще одну такую же окружность. Проводим линию через центр первой окружности и точку пересечения окружностей (красная линия) и проводим линию через точки пересечения окружностей (зеленая линия). Острый угол между красной и зеленой линиями равен 30 градусам.
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
ответ: KD=10см.
Будем выражать все через теорему пифагора,зная что AB=2BD:
AB^2=BD^2+AD^2
4BD^2=BD^2+AD^2
3BD^2=AD^2
BD^2=(AD^2)/3
AC^2=AB^2+BC^2
AC^2=4BD^2+BC^2
AC^2=(4*AD^2)/3 +BC^2
BC^2=BD^2+DC^2
BC^2=(AD^2)/3+DC^2
DC=AC-AD
BC^2=(AD^2)/3 +(AC-AD)^2
BC^2= (AD^2)/3 + AC^2 - 2*AC*AD + AD^2
Подставим:
AC^2= (4*AD^2)/3 + (AD^2)/3 + AC^2 - 2*AC*AD + AD^2
Получаем:
2*AC*AD= (8*AD^2)/3
AC=(4*AD)/3
3*AC=4*AD
Доказано.