1. Дано: треугольник АВС, АС принадлежит альфа, АМ=МВ, М принадлежит бетта, бетта параллельна альфе, бетта пересекает ВС=К.
Доказать: что МК - средняя линия треугольника АВС.
2. Одна из сторон треугольника принадлежит плоскости альфа. Плоскость бетта параллельна плоскости альфа и пересекает две другие стороны треугольника.
Доказать, что бетта отсекает от треугольника треугольник, подобный данному.
1. Доказательство, что МК - средняя линия треугольника АВС:
Из условия задачи имеем, что АС принадлежит плоскости альфа, М принадлежит плоскости бетта, бетта параллельна альфе, а бетта пересекает ВС в точке К.
Чтобы доказать, что МК - средняя линия треугольника, мы должны показать, что МК делит ВС пополам и параллельна АВ.
Для начала докажем, что МК делит ВС пополам. Для этого воспользуемся теоремой Талеса.
Теорема Талеса гласит, что если в треугольнике одна сторона параллельна основанию и пересекает две другие стороны, то отрезок, отсекаемый этой стороной на одной из других сторон, равен отрезку, отсекаемому на второй другой стороне.
Итак, М принадлежит бетта, поэтому отрезок МВ отсекает ВС на отрезок КС. Также, так как бетта параллельна альфе, то бетта также будет пересекать сторону АВ.
Далее, так как АМ=МВ (М принадлежит бетта), то отрезок АК отсекает ВС на равные отрезки, так как стороны МК и МА совпадают.
Таким образом, мы видим, что отрезок МК действительно делит сторону ВС на две равные части, то есть МК - средняя линия треугольника.
Теперь докажем, что МК параллельна АВ.
Воспользуемся теоремой о трех параллельных прямых: если в треугольнике три параллельных прямых, то они делят стороны треугольника пропорционально.
В нашем случае, параллельными прямыми являются АС (прямая, принадлежащая альфе) и МК (средняя линия, которую мы доказали).
Так как АМ=МВ (М принадлежит бетта), то следует, что стороны АС и МК делят сторону ВА пропорционально. Также, так как бетта параллельна альфе, то она будет пересекать сторону АВ.
Поэтому мы можем заключить, что МК - средняя линия треугольника АВС, так как делит сторону ВС пополам и параллельна стороне АВ.
2. Доказательство, что бетта отсекает от треугольника треугольник, подобный данному:
Из условия задачи имеем, что одна из сторон треугольника АВС (назовем ее АС) принадлежит плоскости альфа, плоскость бетта параллельна плоскости альфа и пересекает две другие стороны треугольника.
Для доказательства, что бетта отсекает от треугольника треугольник, подобный данному, мы воспользуемся свойством параллельно пересекающихся прямых: если две прямые параллельны и пересекают третью прямую, то они отсекают на этой прямой отрезки, пропорциональные отрезкам, отсекаемым на третьей прямой.
Итак, плоскость бетта параллельна плоскости альфа, и они пересекают две стороны треугольника.
Так как параллельные прямые МК и АС делят сторону ВС пропорционально (что мы доказали в первом вопросе), то следует, что бетта также будет параллельна этим прямым и будет отсекать на ВС отрезок КС.
Таким образом, мы видим, что бетта отсекает от треугольника треугольник со сторонами, пропорциональными сторонам исходного треугольника, и поэтому эти треугольники подобны друг другу.