№1. Плоскости α и β параллельны. Через точку C, не принадлежащую ни одной из них, проведена плоскость . Какие из утверждений верны?
1) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости α
2) - единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость α
3) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости β
4) - единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость β
5) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости α и плоскости β
№2. Плоскости α и β параллельны. Укажите количество прямых плоскости α, которые параллельны плоскости β.
Варианты ответов:
1) одна
2) ни одной
3) любая
4) часть
5) много
№3. Укажите грань прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которая проходит через точку B1 параллельно грани 〖〗_ _ .
№4. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Укажите количество плоскостей, которые проходят через прямую а и параллельны прямой b.
Варианты ответов:
1) одна
2) две
3) три
4) ни одной
5) много
№5. Прямые m и n скрещивающиеся. Сколько параллельных плоскостей можно провести через эти прямые?
Варианты ответов:
1) ни одной плоскости
2) бесконечно много плоскостей
3) только 2 плоскости
4) все зависит от расположения скрещивающихся прямых
№6. Различные плоскости α и β параллельны плоскости γ. Определите взаимное расположение плоскостей α и β.
Варианты ответов:
1) пересекаются
2) совпадают
3) параллельны
№7. Найдите диагональ куба, если длина его ребра составляет 6 дм
№8. В каких гранях расположено ребро, которое скрещивается с ребром AD тетраэдра ABCD.
Пусть сторона параллелограмма на АВ равна х, вторая у.
Остаток стороны АВ равен 4 - х.
Из подобия треугольников запишем: (4 - х)/у = 4/10 = 2/5.
Отсюда получаем зависимость сторон х и у: 2у = 20 - 5х,
Сократим на 2: у = 10 - 2,5х.
Высота параллелограмма равна х*sin 30° = x /2.
Получаем зависимость площади параллелограмма от переменной х:
S = (x/2)*y = (x/2)*( 10 - 2,5х) = 5x - 1,25x².
Производная этой функции равна: y' = 5 - 2,5x.
Приравняем нулю: 5 - 2,5х = 0.
Отсюда х = 5/2,5 = 2. Это точка экстремуму.
Определим знаки производной левее и правее этой точки для определения характера экстремума.
х = 1,5 2 2,5
y' = 1,25 0 -1,25 .
Как видим, в точке х = 2 максимум (переход с + на -).
ответ: S = 5x - 1,25x² = 5*2 - 1,25*4 = 10 - 5 = 5 кв.ед.