Question

На чертеже дан куб ABCDEFGH, длина ребра которого равна 3 корень из 2

Найди расстояние от точки F до плоскости ACGE.

Answer 1

Для нахождения расстояния от точки F до плоскости ACGE, нам понадобится использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

Формула расстояния от точки до плоскости:

d = | Ax + By + Cz + D | / √(A^2 + B^2 + C^2)

где d - расстояние от точки до плоскости,
A, B, C - координаты вектора, нормального к плоскости,
D - коэффициент, определяющий положение плоскости.

Нам нужно найти расстояние от точки F до плоскости ACGE, поэтому сначала нам нужно найти координаты вектора, нормального к плоскости, и коэффициент D.

Плоскость ACGE образуется в результате пересечения граней ACG и AEG, поэтому воспользуемся координатами этих граней для определения нормали.

Координаты грани ACG: A(√2, 0, 0), C(3√2, 0, 0), G(3√2, 3√2, 0)
Координаты грани AEG: A(√2, 0, 0), E(√2, 0, 3√2), G(3√2, 3√2, 0)

Возьмем векторное произведение векторов AC и AG, чтобы найти нормальный вектор к плоскости ACGE.

Вектор AC: C - A = (3√2 - √2, 0 - 0, 0 - 0) = (2√2, 0, 0)
Вектор AG: G - A = (3√2 - √2, 3√2 - 0, 0 - 0) = (2√2, 3√2, 0)

Теперь выполним векторное произведение:

N = AC x AG = (2√2 × 3√2, 0 × 2√2 - 2√2 × 0, 2√2 × 3√2) = (12, 0, 12)

Теперь у нас есть нормальный вектор N(12, 0, 12) и координаты точки F(√2, √2, 3√2).

Заменим эти значения в формуле расстояния от точки до плоскости:

d = | (12)(√2) + (0)(√2) + (12)(3√2) + D | / √(12^2 + 0^2 + 12^2)

Для определения коэффициента D нам нужно использовать координаты одной из точек на плоскости. Мы можем взять, например, A.

Подставим координаты A(√2, 0, 0):

0 = (12)(√2)(√2) + (12)(3√2)(0) + D
0 = 48 + D

Теперь мы можем решить уравнение:

D = -48

Возвращаемся к формуле расстояния:

d = | (12)(√2) + (0)(√2) + (12)(3√2) - 48 | / √(12^2 + 0^2 + 12^2)

d = | 36√2 - 48 | / √(12^2 + 12^2)

d = | 36√2 - 48 | / √(144 + 144)

d = | 36√2 - 48 | / √(288)

d = | 36√2 - 48 | / 12√2

Чтобы упростить выражение, заметим, что 12√2 можно вынести за знак модуля:

d = | (√2)(36 - 48√2) | / 12√2

d = (36 - 48√2) / 12
d = 3 - 4√2

Таким образом, расстояние от точки F до плоскости ACGE составляет 3 - 4√2.