Обозначим :
Н - высота пирамиды
h - высота основания пирамиды
r -радиус окружности, вписанной в основание
а - сторона основания
Решение
а) высота пирамиды Н = L· sinβ
б) проекция апофемы на плоскость основания -это радиус вписанной окружности r = L · cosβ.
в) сторона основания пирамиды а = 2r/tg 30° = 2L· cosβ/(1/√3) =
= 2√3 · L·cosβ
г) площадь основания пирамиды Sосн = 0.5h·a, где h = a·cos30°.
Тогда Sосн = 0.25a²·√3 = 0.25 · √3 · (2√3 · L·cosβ)² = 3√3L² · cos²β
д) Площадь боковой поверхности пирамиды
Sбок = 3 · 0,5 · L · a = 1.5L · 2√3 · L·cosβ = 3√3 · L² · cosβ
e) площадь полной поверхности пирамиды:
Sполн = Sосн + Sбок = 3√3 · L² · cos²β + 3√3 · L² · cosβ =
= 3√3 · L² · cosβ · (cosβ + 1)
Подробнее - на -
Из точки О построим перпендикуляры ОК, ОН, ОК к прямым АВ, ВС и АС.
Треугольники ОВК и ОВН прямоугольные и равны, так как гипотенуза ОВ у них общая, а угол ОВН = ОВК, так как ВО биссектриса, тогда ОК = ОН.
Аналогично треугольник ОСН = ОСМ, а тогда ОМ = ОН.
Следовательно ОК = ОН = ОК, а значит через точки К, Н, С можно провести окружность с центром в точке О.
Треугольники АКО и АМО прямоугольные, у которых ОК = ОМ как радиусы окружности, АО общая гипотенуза, тогда треугольники равна по катету и гипотенузе. Следовательно, угол КАО = МАО, а АО биссектриса угла ВКМ и ВАС, что и требовалось доказать.
Сделаем рисунок.
Соединим точку Е с вершиной С.
Найдем величину угла А
∠А=180°-23°-41°=116°
Так как АЕ=АС, получившийся Δ ЕАС - равнобедренный.
Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины угла к основанию,является одновременно медианой и высотой, то ЕО=ОС.
∠ЕОА=∠ЕОD=90°
Так как в треугольниках ЕОD и СОD равныстороны ЕО и ОС, ОD -общая, ∠ЕОD=∠СОD=90°
эти треугольники прямоугольные и равны.
Гипотенузы ЕD и DС равны, и треугольник ЕDС - равнобедренный.
∠ ВDЕ равен разности между развернутым углом ВDС и∠ ЕDС
Из треугольника ЕDС
∠ЕDС=180-∠ОЕD-∠ОСD
∠ ОСD=∠АСD-∠АСО
Величину угла АСО найдем из равнобедренного треугольника АЕС.
∠ АЕС=∠АСЕ=(180°-116°):2=32°
∠ОСD=41°-32°=9°
∠ЕDС=180°-9°*2=162°
∠ ВDЕ=180°-162°=18°