ответ: S=20см²
Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, центр окружности О. стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине, равны от вершины до точки касания, поэтому ВК=ВМ=МС=СЕ=1см;
АК=АТ=ЕД=ТД=4см. Сложим эти цифры и получим стороны трапеции:
АВ=СД=4+1=4см; ВС=1+1=2см;
АД=4+4=8см.
Проведём из вершин верхнего основания к АД две высоты ВР и СН. Они делят АД так что РН=ВС=2см. Так как трапеция равнобедренная то:
АР=ДН=(АД-ВС)/2=(8- 2)÷2=6÷2=3см
АР=ДН=3см. Рассмотрим полученный ∆СДН. В нём СД -гипотенуза, а СН и ДН- катеты. Найдём высоту СН по теореме Пифагора: СН²=СД²-ДН²=
=5²-3²=25-9=16; СН=√16=4см
СН=4см. Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания по формуле:
S=(BC+AД)/2×СН=
=(2+8)/2×4=10÷2×4=5×4=20см²
S=20см²
Можно составить систему уравнений:
х²=S
(1,2x)²=S+11
х²=S
1,44x²=S+11
Вычтем из второго уравнения первое:
1,44x²-х²=S+11-S
0,44x²=11
x²=11/0,44=25
x1=-5 - не подходит по условию задачи, так как сторона квадрата не может быть отрицательной величиной
х2=5 (дм)
Итак, сторона квадрата до увеличения равна 5 дм.
Площадь квадрата до увеличения равна S=x²=5²=25 (дм²)