Question

НУЖНА С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ) Окружность радиуса 1 вписана в прямоугольный треугольник с углом 15°. Найдите расстояние от точки её касания с гипотенузой до вершины прямого угла.

Answer 1

Для начала, давайте обозначим точки на рисунке следующим образом:

- Точка, в которой окружность касается гипотенузы, обозначим как точку A.
- Точки, в которых окружность касается катетов, обозначим как точки B и C.
- Вершину прямого угла обозначим как точку D.

Нам известно, что радиус окружности равен 1. Поскольку окружность касается гипотенузы, то AC является диаметром окружности. Следовательно, AC = 2.

Мы также знаем, что окружность вписана в прямоугольный треугольник с углом 15°. То есть, угол между гипотенузой и катетом BC равен 15°. Отсюда следует, что угол между гипотенузой и другим катетом BA также равен 15°.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BAC. У нас уже есть значение стороны AC, которая равна 2. Также нам известно, что угол BAC равен 30°, поскольку каждый из углов BAC и BCA равен 15°.

Давайте найдем сторону BA. Мы знаем две стороны треугольника: AC = 2 и BC = 1 (равна радиусу окружности). Мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны BA:

sin(BAC) = BA/AC

sin(30°) = BA/2

BA = 2 * sin(30°)

BA = 2 * (1/2) = 1

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BDA. Заметим, что отрезок AD - это искомое расстояние. Треугольник BDA - это прямоугольный треугольник, поскольку угол BDA является прямым углом.

Мы знаем две стороны треугольника: BA = 1 и BD = 1 (равна радиусу окружности). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны AD:

AD^2 = BA^2 + BD^2

AD^2 = 1^2 + 1^2

AD^2 = 2

AD = √2

Таким образом, расстояние от точки A, касательной к окружности, до вершины прямого угла D равно √2.