А(-3; 1) В(1; -2) С(-1; 0)
1) Координаты вектора АВ
АВх = хВ - хА = 1 + 3 = 4
АВу = уВ - уА = -2 - 1 = -3
АВ(4; -3)
Координаты вектора АС
АСх = хС - хА = -1 + 3 = 2
АСу = уС - уА = 0 - 1 = -1
АС(2; -1)
2) Модуль вектора АВ
|AB| = √(АВх² + АВy²) = √(4² + (-3)²) = 5
Модуль вектора АC
|AC| = √(АCх² + АCy²) = √(2² + (-1)²) = √5
3) Cкалярное произведение векторов АВ и АС
АВ · АС = АВх · АСх + АВу · АСу = 4 · 2 + (-3 · (-1)) = 11
4) Косину угла между векторами АВ и АС
cos α = AB · AC : (|AB| · |AC|) = 11 : (5√5)= (11√5) /25
Найдём все расстояния между точками:
АВ = sqrt((2 - (-1)) ^ 2 + (7 - 4) ^ 2) = sqrt(9 + 9) = 3sqrt2
BC = sqrt((1 - (-1)) ^ 2 + (4 - 2) ^ 2) = sqrt(4 + 4) = 2sqrt2
AC = sqrt((2 - 1) ^ 2 + (7 - 2) ^ 2) = sqrt(1 + 25) = sqrt26
Тип треугольника определяется по наибольшему углу, который, в свою очередь, лежит напротив наибольшей стороны треугольника. Чтобы сравнить стороны, можно возвести их длины в квадрат. На неравенство это не повлияет, так как каждая из сторон строго больше 0:
(АВ) ^ 2 = 18
(BC) ^ 2 = 8
(CD) ^ 2 = 26 - Наибольшая сторона.
Найдём наибольший угол треугольника по теореме косинусов:
26 = 18 + 8 - 2(3sqrt2)(2sqrt2)(cos(x)), где х - искомый угол. // - 26
2(3sqrt2)(2sqrt2)(cos(x)) = 0
12*2*cos(x) = 0
24cos(x) = 0 // : 24
cos(x) = 0
x = 90 или 180 градусов, но так как это угол в треугольнике, то он строго меньше 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника) ==> x = 90 градусов ==> треугольник ABC - прямоугольный, ч.т.д.