Пусть плоскости α и β параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости α. Докажем, что эта прямая перпендикулярна и плоскости β.
В плоскости α проведем две пересекающиеся прямые b и с.
Так как прямая а перпендикулярна плоскости α, то она перпендикулярна каждой из этих прямых.
В плоскости β проведем прямые d║b и е║с.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Значит, а ⊥ d и а ⊥ е.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости, ⇒
а ⊥ β.
Пусть О-вершина угла, а A и B - точки на сторонах, тогда имеем треугольник AOB
По теореме косинусов
a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)
В нашем случае
(AB)^2=(OB)^2+(OA)^2-2*OB*OA*cos(45)
(AB)^2=288+289-408√2*(1/√2)=577-408=169 => AB=√169=13