Question

Продолжи предложение. а) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Углы, образованные наклонной с ее проекцией и с перпендикуляром, равны. Угол между наклонной и плоскостью равен …

б) Ребро АС тетраэдра АВСD перпендикулярно к плоскости грани ВСD, отрезок AH – высота грани ABD. Тогда угол BHC = …

Answer 1

а) Пусть угол между наклонной и перпендикуляром равен α. Тогда у нас имеется прямоугольный треугольник, где α является углом между гипотенузой (наклонной) и катетом (проекцией наклонной на плоскость). Обозначим проекцию наклонной как x. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим x^2 + h^2 = l^2, где h - высота гипотенузы (расстояние от исходной точки до плоскости), l - длина наклонной. Теперь рассмотрим угол между наклонной и плоскостью. Обозначим его как β. У нас опять получается прямоугольный треугольник, где β является углом между гипотенузой (наклонной) и катетом (отрезком, проекцией наклонной на плоскость). Обозначим этот отрезок как y. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим y^2 + h^2 = l^2. Из условия задачи у нас есть равенство углов α и β. Отсюда следует, что x/y = sin(α)/sin(β). Подставим выражение для x и y из полученных уравнений: (l^2 - h^2)/y^2 = (l^2 - h^2)/x^2. l^2 - h^2 = (l^2 - h^2) * (y^2/x^2). 1 = y^2/x^2. y/x = 1. Таким образом, угол между наклонной и плоскостью равен 45 градусов. б) Рассмотрим треугольник BHC. Он является прямоугольным, так как ребро AH перпендикулярно к плоскости грани BCD. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим HC^2 = BH^2 + BC^2. Поскольку BH = CH (оба ребра являются высотами грани ABD), формулу можно записать в следующем виде: HC^2 = 2 * BH^2. Таким образом, угол BHC можно найти, зная величину HC. Для этого необходимо использовать свойства тетраэдра, поскольку здесь дано недостаточно информации для точного вычисления.