Объём шара Объём усечённого конуса Обозначим угол между образующей конуса и плоскостью его основания α. Проведём осевое сечение и получим равнобедренную трапецию с вписанной в неё окружностью. В этом случае r1 = R*tg(α/2). r2 = R/(tg(α/2)), r1*r2 = R². Запишем заданное отношение объёмов: ((4/3)R³π)/((1/3)π*(2R)*(R*tg(α/2))+(R/tg(α/2))+R²) = 6/13. Приводим к общему знаменателю: 13R²(tg²(α/2)) = 3R²(tg⁴(α/2)) + 3R² + 3R²(tg²(α/2)). Сокращаем на R² и делаем замену tg²(α/2) = х. Получаем квадратное уравнение: 3х² - 10х + 3 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-10)^2-4*3*3=100-4*3*3=100-12*3=100-36=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√64-(-10))/(2*3)=(8-(-10))/(2*3)=(8+10)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;x_2=(-√64-(-10))/(2*3)=(-8-(-10))/(2*3)=(-8+10)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3. Получаем 2 решения: tg²(α/2) = 3, tg(α/2) = √3, tg²(α/2) = 1/3, tg(α/2) = 1/√3. Отсюда угол равен 120 и 60 градусов, что соответствует острому и тупому углам трапеции в сечении конуса.
ответ: угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 60 градусов.
Дано: Решение: SABCD - правильная AB = BC = BS = 1 ΔSCD и ΔSAB - равносторонние SM = MC; SK = KB CD = AB и CM = KB; => DM⊥SC и AK⊥SB ----------------------------- Следовательно: AK = MD Доказать: AK = MD и трапеция AKMD - равнобедренная Найти: cos α
Построим SF⊥BC. Так как ΔBSC - равносторонний, то BF = FC = 0,5 Тогда: SF = √(SC²-FC²) = √0,75 = √3/2 и NF = SF/2 = √3/4
SX - высота пирамиды. В ΔSXF: ∠SXF = 90°; XF = 0,5; SF = √3/2 Тогда: SX = √(SF²-FX²) = √(0,75-0,5) = √0,25 = 0,5 и ΔSXF - равнобедренный, т.е. SX = XF = 0,5 и ∠SFX = 45°
В трапеции AKMD находим NP = MP':
так как KM = BC/2 по условию, то MN = BC/4 = 0,25 так как DM⊥SC и СМ = 0,5; DC = 1, то: DM = √(1-0,25) = √3/2 Тогда: NP = MP' = √(DM²-(PD-MN)²) = √(3/4 - (0,5-0,25)²) =√(11/16) = √11/4
Объяснение:
б) х=90°-28°=62°
а) х=180°-108°=72°