Дано: SABC - пирамида, АВ=ВС=10см, АС=12см, боковые грани образуют с основанием углы 30 градусов. Найти: высоту SO. Построение. К основанию треугольника АВС проведем высоту ВН, которая будет являться и медианой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный. Отрезок SH также является высотой, так как треугольник ASC равнобедренный. Значит, угол SHB - заданный в условии двугранный угол. Высота пирамиды проецируется на основание в точку О, являющуюся центром вписанной в треугольник АВС окружности, так как все грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом. Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник OSH: Неизвестным остается отрезок НО, являющийся радиусом ранее упомянутой окружности. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. С другой стороны площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Приравнивая эти площади, получим: BH найдем из треугольника АВН по теореме Пифагора, учитывая, что АН - половина АС. ответ: см
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. Найти площадь поверхности пирамиды и расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани. Сделаем рисунок. Основание высоты правильной треугольной пирамиды - точка пересечения высот основания, или. иначе, центр вписанной в правильный треугольник окружности. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей ее основания и трех боковых граней. Площадь основания правильного треугольника находят по формуле S=(a²√3):4 Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. Площадь боковой грани - половина произведение ее высоты на сторону основания. S грани=аh:2 Двугранный угол при стороне основания равен линейному углу между апофемой МН и высотой АН основания. АВ=ВС=АС=АН:sin (60º)=6:[(√3):2]=4√3 S осн=(4√3)²√3):4=(16*3*√3):4=12√3 см² Апофема МН, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника МОН, равна ОН√2 ОН=АН:3=2 см МН=2√2 Sбок= 3*МН*ВС:2=(3*2√2)*4√3):2 Sбок=12√6 S полн=S осн+Sбок=12√3 см²+12√6=12√3(1+√2)=≈50,178 см² Вернемся к рисунку. Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани -перпендикуляр от вершины, проведенный к плоскости боковой грани. Ясно, что расстояния от любой вершины осноания до противоположной ей грани равны. Найдем расстояние от вершины В до плоскости грани АМС. ЕМ - высота треугольника АМС. Искомым расстоянием будет перпендикуляр ВК к проекции высоты ВЕ основания на плоскость АМС, т.е. к прямой ЕМ. Так как двугранный угол у основания равен 45º, то треугольник ЕКВ - прямоугольный и равнобедренный. Искомое расстояние КВ=ВЕ*sin(45º )=6√2):2=3√2 см
Найти: высоту SO.
Построение. К основанию треугольника АВС проведем высоту ВН, которая будет являться и медианой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный. Отрезок SH также является высотой, так как треугольник ASC равнобедренный. Значит, угол SHB - заданный в условии двугранный угол. Высота пирамиды проецируется на основание в точку О, являющуюся центром вписанной в треугольник АВС окружности, так как все грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом.
Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник OSH:
Неизвестным остается отрезок НО, являющийся радиусом ранее упомянутой окружности.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. С другой стороны площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Приравнивая эти площади, получим:
BH найдем из треугольника АВН по теореме Пифагора, учитывая, что АН - половина АС.
ответ: