Пусть у нас будет треугольник ABC с гипотенузой BC, O - центр вписанной окружности. Проведем радиусы OM и ON к боковым сторонам AB и AC соответственно. Получим четырехугольник с равными смежными сторонами, т.е. - это квадрат. Отрезки касательных равны, т.е. AN=AM=3 см; CN=CF=х см; BM=BF=y. Длина гипотенузы = x+y=17 см. Значит, х=17-y Длины сторон можно связать по теореме Пифагора: AB^2+AC^2=BC^2 (17+3-x)^2+(x+3)^2=17^2 400-40y+x^2+x^2+6y+9=289 2y^2-34x+120=0 y^2-17x+60=0 По теореме Виета найдем корни этого квадратного уравнения: x1+x2=17 x1*x2=60 x1=12; x2=5 - это и есть длины обоих неизвестных касательных, т.к. числа эти взаимозаменяемы. Т.е. дины катетов = 3+12=15 (см) - первый; 3+5=8 (см) - второй, следовательно, P = 17+15+8=40 (см) ответ: 40 см.
Сначала доказываем подобие треугольников ВСН и АСН (по двум углам). Это очевидно, поскольку угол АНС и угол ВНС будут прямыми, а угол АСН = углу НВС (из треугольника АВС угол НВС = 90 - угол САВ, из треугольника АСН следует, что угол АСН = 90 - угол САВ (он же угол САН)). Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3. Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3 Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС. Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем: х² + 9х² = (2√5)² 10х² = 20 х = √2 АС = √2, ВС = 3√2 Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов: 1/2×√2×3√2 = 3 ответ: 3
Длины сторон можно связать по теореме Пифагора:
AB^2+AC^2=BC^2
(17+3-x)^2+(x+3)^2=17^2
400-40y+x^2+x^2+6y+9=289
2y^2-34x+120=0
y^2-17x+60=0
По теореме Виета найдем корни этого квадратного уравнения:
x1+x2=17
x1*x2=60
x1=12; x2=5 - это и есть длины обоих неизвестных касательных, т.к. числа эти взаимозаменяемы.
Т.е. дины катетов = 3+12=15 (см) - первый; 3+5=8 (см) - второй, следовательно, P = 17+15+8=40 (см)
ответ: 40 см.