Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
∠В : ∠D = 1 : 5
∠A < в 2 раза ∠С.
Найти:∠А - ? ; ∠В - ? ; ∠С - ? ; ∠D - ? .
Решение:Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Около четырёхугольника ABCD описана окружность, по условию ⇒ ∠B + ∠D = 180˚; ∠A + ∠C = 180°.
Найдём ∠B и ∠D:
Пусть х - ∠В, тогда 5х - ∠D. (∠B : ∠D = 1 : 5, по условию)
Как я написала ранее, ∠B + ∠D = 180˚, по свойству.
х + 5х = 180
6х = 180
х = 30
30° - ∠B.
⇒ ∠D = 30˚ * 5 = 150˚.
Найдём ∠А и ∠С:
Пусть х - ∠А, тогда 2х - ∠С.
Как я написала ранее, ∠А + ∠С = 180°, по свойству.
х + 2х = 180
3х = 180
х = 60
60° - ∠А.
⇒ ∠С = 60° * 2 = 120°
ответ: 30°; 150°; 60°; 120°.
Объяснение:
а) Во вписанном квадрате диагональ равна 2 радиуса=2р. значит
2а²=4р² а=р*√2
для нахождения стороны треугольника опустим высоту до пересечения с окружностью. Получим прямоугольный треугольник.
Высота одновременно и медиана и биссектрисса. Сторона против угла 30 при вершине равна р (половине гипотенузы) Гипотенуза равна 2р.
значит сторона треугольника равна а²=4р²-р²=3р² а=р*√3
периметр треугольника равен 4р√3
периметр квадрата равен 4р√2
соотношение равно √3:√2
б) описанный увадрат имеет сторону равную диаметр 2р.
Периметр квадрата равен 4*2р=8р
В треугольнике соединим вершину и центр круга и опустим радиус в точку касания. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне и лежит против угла в 30 градусов. Значит отрезок соединяющий вершину и центр окружности равен 2р. Половину стороны треугольника находим по теореме Пифагора.
а²/4=4р²-р²=3р²
а=2√3*р периметр равен 4*2*√3*р=8√3р
соотношение периметра треугольника к квадрату равно
8√3р:8р= √3 :1
Второй признак, по двум углам и стороне