Question

Три параллельные плоскости пересекаются двумя прямыми. Докажите,что отрезки прямых между плоскостями пропорциональный. Верно ли обратное утверждение

Answer 1

Доброго дня!

Чтобы ответ на данный вопрос был понятен школьнику, давайте разберем пошаговое решение.

1. Первым шагом давайте представим себе три параллельные плоскости, обозначим их как P_1, P_2 и P_3.
Пусть эти плоскости пересекаются двумя прямыми, которые мы обозначим как l_1 и l_2. Для удобства представим эти пересечения в виде следующей схемы:

l_1
/
P_1 *-------*-------* l_2
\
P_2
\
*
\
P_3

Здесь звездочками (*) обозначены точки пересечения плоскостей и прямых.

2. Теперь давайте обозначим точку пересечения прямых l_1 и l_2 как M. Пусть отрезок между плоскостями P_1 и P_2 мы обозначим как a, отрезок между плоскостями P_2 и P_3 - как b, а отрезок между плоскостями P_1 и P_3 - как c.

Обозначим отрезок между точкой M и пересечением прямой l_1 с плоскостью P_1 как x, отрезок между точкой M и пересечением прямой l_1 с плоскостью P_2 - как y, а отрезок между точкой M и пересечением прямой l_2 с плоскостью P_3 - как z.

Схематически это можно изобразить так:

x
P_1 *-------*-------* l_1
M y / _
l_2 *-------*-------* P_3
z b /
P_2 *-------*-------* c

3. Теперь давайте предположим, что отрезки a, b и c пропорциональны. Это означает, что мы должны сравнить соотношение a:b и соотношение b:c.

Давайте рассмотрим плоскость P_2. Она параллельна плоскости P_1, поэтому отрезки x и y параллельны отрезку a.

Рассмотрим также плоскость P_2. Она параллельна плоскости P_3, поэтому отрезки y и z параллельны отрезку b.

Из этого следует, что отрезки x, y и z пропорциональны отношению a:b.

4. Теперь давайте рассмотрим обратное утверждение. Пусть отрезки x, y и z пропорциональны. Это означает, что a:b = b:c.

Если мы рассмотрим плоскость P_2, то увидим, что отрезки x и y параллельны отрезку a.

Если мы рассмотрим плоскость P_3, то увидим, что отрезки y и z параллельны отрезку b.

Значит, отрезки a и c также параллельны.

Из этого следует, что отрезки a, b и c пропорциональны отношению a:b, а значит, обратное утверждение также верно.

Итак, посредством анализа параллельных плоскостей и их пересечения двумя прямыми мы пришли к выводу, что отрезки между плоскостями пропорциональны. Обратное утверждение также верно.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять и запомнить данный материал. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.