Question

а) Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16 корней из 2 см. Чему равен радиус основания цилиндра? б) Найдите высоту цилиндра, если диагональ его осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол 30°, а диаметр его основания равен 4 корня из 3 см

Answer 1

а) Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора.
Мы знаем, что диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16√2 см. Пусть радиус основания цилиндра равен r. Тогда диагональ осевого сечения представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а стороны этого треугольника - это радиус основания и высота цилиндра.

Применим теорему Пифагора:
r^2 + h^2 = (16√2)^2
r^2 + h^2 = 512

Мы не знаем высоту цилиндра, но знаем, что это равносторонний цилиндр, поэтому высота и радиус основания равны между собой.

Поэтому можем заменить h на r:
r^2 + r^2 = 512
2r^2 = 512
r^2 = 256
r = √256
r = 16

Ответ: Радиус основания цилиндра равен 16 см.

б) Диаметр основания цилиндра равен 4√3 см, значит, радиус основания равен половине диаметра:
r = (4√3)/2
r = 2√3

Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. У нас есть угол между диагональю и образующей цилиндра, равный 30°. Из геометрии цилиндра, мы знаем, что образующая и высота составляют прямой угол, поэтому можем использовать тригонометрическую функцию тангенс.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
тангенс(30°) = высота цилиндра / образующая цилиндра

Теперь подставим известные значения:
тангенс(30°) = h / (4√3)

Чтобы найти h, умножим обе стороны уравнения на (4√3):
тангенс(30°) * (4√3) = h

Наиболее точное значение тангенса 30° равно 1/√3.

Подставим это значение:
(1/√3) * (4√3) = h
4/√3 = h

Мы можем упростить это дальше, умножив числитель и знаменатель дроби на √3:
(4√3/√3) * (√3/√3) = h
(4√3*√3) / 3 = h
(4*√(3*3)) / 3 = h
(4*√9) / 3 = h
(4*3) / 3 = h
12/3 = h
4 = h

Ответ: Высота цилиндра равна 4 см.