Question

Дана треугольная пирамида DABC, все ребра которой
Точка К середина ребра DC,точка М середина ребра АВ. Некоторая прямая проходит через точку К параллельно прямой DM и пересекает плоскость АВС в точке Х.Найдите длину отрезка КХ.​

$4 \sqrt{3}$

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойство параллельных прямых в плоскости.

Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом:
AB = a
AC = b
BC = c

Из условия получаем, что:
KA || DM

Поскольку KM является медианой треугольника ABC, то точка M делит сторону AB на две равные части, то есть AM = MB. Аналогично, точка K делит сторону DC на две равные части, то есть CK = KD.

Мы можем использовать подобие треугольников для нахождения длины отрезка KX. Заметим, что треугольники KHX и KDM подобны.

В треугольнике KHX:
KH / KX = KD / DM

В треугольнике KDM:
KD / DM = CK / KM

Поэтому:
KH / KX = CK / KM

Заметим, что треугольники CKM и CBA подобны.

В треугольнике CKM:
CK / KC = MC / CA

В треугольнике CBA:
MC / CA = b / (a + b)

Поэтому:
CK / KC = b / (a + b)

Мы можем заметить, что KH = CK, так как они являются серединными перпендикулярами двух равных отрезков: KD и DC.

Подставим значения, которые мы уже вывели:
KH / KX = b / (a + b)

Теперь найдем значение х, используя свойство пропорций:

KH / KX = b / (a + b)

Распространим пропорцию, умножив обе стороны на KX:

KH = (b / (a + b)) * KX

Теперь мы можем решить уравнение относительно KX:

KX = (KH * (a + b)) / b

Осталось подставить значение KH, которое мы уже знаем:

KX = (CK * (a + b)) / b

Мы знаем, что CK = KD, а KD равно половине длины DC:

KD = DC / 2

Аналогично, DC равно половине длины BC:

DC = BC / 2 = c / 2

Подставим эти значения в выражение для KX:

KX = ((c / 2) * (a + b)) / b

Упростим:

KX = (ac + bc) / (2b)

И это и будет ответ на задачу.Высота пирамиды будет равна:
KX = (ac + bc) / (2b)

Получившееся выражение можно еще упростить, раскрыв скобки:
KX = (ac + bc) / (2b) = (a + b)c / (2b) = ac/(2b) + bc/(2b) = a/(2b) + 1/2