Дано: АВСD - параллелограмм, АС=ВD
Доказать: АВСD - прямоугольник.
Доказательство: В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Т.к. диагонали равны, то ВО=ОС=АО=ОD (смотри рисунок).
ΔАВО и ΔОСD равнобедренные.
АВ=СD, ВО=ОС, АО=ОD ⇒ ΔАВО = ΔОСD (по трем сторонам)
Значит ∠ОВА=∠ВАО=∠ОСD=∠CDО=α.
ΔВОС и ΔАОD равнобедренные
ВС=АD, ВО=ОА, СО=OD ⇒ ΔВОС = ΔАОD (по трем сторонам)
Значит ∠CBO=∠BCO=∠OAD=ODA=β
∠СВА=α+β
∠ВАD=α+β
∠АDС=α+β
∠DСВ=α+β
В четырехугольнике сумма всех углов 360°.
∠СВА+∠ВАD+∠АDС+∠DСВ=(α+β)+(α+β)+(α+β)+(α+β)=4(α+β)=360°
4(α+β)=360°
α+β=360°:4
α+β=90°
∠СВА=α+β=90°
∠ВАD=α+β=90°
∠АDС=α+β=90°
∠DСВ=α+β=90°
Все углы в параллелограмме АВСD прямые, следовательноа АВСD – прямоугольник.
Как известно, длина медианы прямоугольного треугольника равна половине длины его гипотенузы и равна длине радиуса, описанного вокруг этого треугольника.
Начертим гипотенузу АВ. По известной методике деления отрезка на две равные части находим ее середину О.
Для этого из концов А и В чертим полуокружности радиусом больше половины отрезка, точки их пересечения соединяем прямой.
Эта прямая делит АВ пополам и является перпендикуляром к АВ.
Место пересечения обозначим О ( ОА=АА1, как дано в задаче)
Вариант 1.
Соединяем О с точкой пересечения перпендикуляра и окружности. Это вершина С. Соединяем А, В, С. Получен равнобедренный прямоугольный треугольник АВС.
Вариант 2.
Из А, как из вершины откладываем известные острый угол, проводим его сторону до пересечения с окружностью. Точка пересечения - вершина угла С. АВС - искомый треугольник.
Вариант 3.
Из А или В возводим перпендикуляр, равный заданной длине высоты треугольника. Проводим параллельно АВ прямую. Все ее точки равноудалены от АВ.
Точку пересечения прямой и окружности обозначим С.
Треугольник АВС - искомый.