плоскость альфа проходит через середины боковых сторон AB и CД трапеции АВСД точки M и N. a) докажите что АД параллельно альфа б) найдите BC если АД=12 см MN=10 см
Определение: Угол между плоскостями - это двугранный угол, образованный полуплоскостями и измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). Опустим перпендикуляр АН из точки А к ребру ВС. тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок А1Н также перпендикулярен прямой ВС (ребру двугранного угла между плоскостями АВС и А1ВС). Тогда искомый угол АНА1. Из прямоугольного треугольника АВН найдем: АН=АВ*Sin(b) = 6*0,4=2,4 см. В прямоугольном треугольнике АНА1 tg(<AHA1) = АА1/АН (противолежащий катет к прилежащему) или tg(<AHA1)=18/2,4=7,5. ответ: искомый кгол равен arctg(7,5) или ≈82,4°.
1. Рассмотрим два случая: 1) прямые а и b пересекаются и лежат в плоскости β. Обе прямые параллельны плоскости α. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Проведем через прямую а плоскость (розовую), пересекающую плоскость α по прямой а'. Согласно выше приведенной теореме, а'║a. Проведем через прямую b плоскость (зеленую), пересекающую плоскость α по прямой b'. b'║b. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
2) прямые а и b параллельны и лежат в плоскости β. Обе прямые параллельны плоскости α. Из этого не следует, что плоскость β параллельна плоскости α. На рисунке приведен пример, опровергающий утверждение, что плоскости в этом случае параллельны.
Утверждение: если две прямые, которые лежат в одной плоскости, параллельные второй плоскости, то эти плоскости параллельны - неверно.
2. Точки Е и К лежат в плоскости одной грани. Соединяем их. Точки Р и К так же соединяем. КЕ и КР - отрезки сечения. Найдем точку пересечения прямой КР с плоскостью АВС: КР лежит в плоскости грани SBC, эта плоскость пересекает плоскость АВС по прямой ВС, значит строим точку пересечения прямой ВС и прямой КР - это точка М. Точки М и Е, принадлежащие сечению, лежат в одной плоскости АВС, значит прямая МЕ - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью АВС. ЕС пересекает ребро АС в точке F. Соединяем P и F, и E и F. KPFE - искомое сечение.
Опустим перпендикуляр АН из точки А к ребру ВС. тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок А1Н также перпендикулярен прямой ВС (ребру двугранного угла между плоскостями АВС и А1ВС).
Тогда искомый угол АНА1.
Из прямоугольного треугольника АВН найдем:
АН=АВ*Sin(b) = 6*0,4=2,4 см.
В прямоугольном треугольнике АНА1
tg(<AHA1) = АА1/АН (противолежащий катет к прилежащему) или tg(<AHA1)=18/2,4=7,5.
ответ: искомый кгол равен arctg(7,5) или ≈82,4°.