Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD, заданный координатами своих вершин А(1;3), В(3;1), C(6;4), D(4;6) - прямоугольник

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить, соответствуют ли его свойства определению прямоугольника.

1. Подсчитаем длины всех сторон четырехугольника:
AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((3 - 1)^2 + (1 - 3)^2) = sqrt(2^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8)
BC = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = sqrt((6 - 3)^2 + (4 - 1)^2) = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18)
CD = sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) = sqrt((4 - 6)^2 + (6 - 4)^2) = sqrt((-2)^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8)
DA = sqrt((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2) = sqrt((1 - 4)^2 + (3 - 6)^2) = sqrt((-3)^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18)

2. Подсчитаем длины диагоналей четырехугольника:
AC = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) = sqrt((6 - 1)^2 + (4 - 3)^2) = sqrt(5^2 + 1^2) = sqrt(25 + 1) = sqrt(26)
BD = sqrt((x4 - x2)^2 + (y4 - y2)^2) = sqrt((4 - 3)^2 + (6 - 1)^2) = sqrt(1^2 + 5^2) = sqrt(1 + 25) = sqrt(26)

3. Проверим, являются ли все стороны четырехугольника ABCD равными:
AB = BC = CD = DA = sqrt(8)
AC = BD = sqrt(26)

4. Также необходимо проверить, являются ли противоположные стороны параллельными.

Уравнение прямой проходящей через точки A и B можно записать в общем виде как y = mx + c, где m - коэффициент наклона, c - свободный член.
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (3 - 1) = -2 / 2 = -1
Заметим, что уравнение имеет вид y = -x + c.
Подставим координаты точки A(1;3):
3 = -(1) + c
c = 4

Теперь, уравнение прямой проходящей через точки C и D:
m = (y4 - y3) / (x4 - x3) = (6 - 4) / (4 - 6) = 2 / (-2) = -1
Заметим, что y = -x + c.
Подставим координаты точки C(6;4):
4 = -(6) + c
c = 10

Мы видим, что уравнения для прямых AB и CD имеют одинаковый коэффициент наклона (-1) и разные свободные члены (4 и 10 соответственно). Это означает, что прямые перпендикулярны друг к другу.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD, заданный координатами своих вершин А(1;3), В(3;1), C(6;4), D(4;6) является прямоугольником. Все его стороны равны sqrt(8), а диагонали равны sqrt(26). Противоположные стороны параллельны, а прямые AB и CD перпендикулярны.